Mostre que g=h

[grsouza]

Olá a todos, se alguém poder me ajudar com o seguinte problema, ficarei grato.

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[João P. Ferreira]

\(g\ o\ f=g(f(x))\)

\(f \ o\ g=f(g(x))\)

logo

\(g(f(x))=f(g(x))\)

[flaviosouza37]

\(g\ o\ f=g(f(x))\)

\(f \ o\ g=f(g(x))\)

logo

\(g(f(x))=f(g(x))\)

Essa igualdade sempre é valida?

nao tinha pensado nisso, pq se sempre for valida da pra fazer:

\(f(g(x))=g(f(x))\)

\(f(f(g(x)))^{-1}=f(g(f(x)))^{-1}\)

\(g(x)=f(g(f(x)))^{-1}\)

como: \(g(f(x))=f(h(x))\)

\(g(x)=f(f(h(x)))^{-1}\)

\(g(x)=h(x)\)

[João P. Ferreira]

Excelente demonstração Flávio

A validade da igualdade vem do enunciado

um abraço

[Rui Carpentier]

A validade da igualdade vem do enunciado

Não sei se sou eu que estou a ler mal o enunciado, mas este parece-me incorreto/incompleto (não veja a tal condição \(g\circ f=f\circ g\)).
Em geral \(g\circ f=f\circ h\) não implica \(g=h\). Tomam por exemplo \(f\) a função nula e \(g\) uma função tal que \(g(0)=0\) então \(g\circ f=f\circ h\) qualquer que seja a função \(h\).
Portanto para o enunciado estar correto deve faltar alguma condição extra (por exemplo se \(g\circ f=f\circ g\) e f é invertível já se verificou que resulta).

[João P. Ferreira]

Muito obrigado pelo correção caro Rui Carpentier

Li mal o enunciado

Um abraço