Uma dúvida sobre o máx e min dessa função ln ( x^4 + 27 )

[Carlos025]

Achei o único numero critico que é x = 0.
Nele a primeira derivada muda de negativo para positivo, ai pensei que seria um ponto de minimo, mas calculei a segunda derivada no ponto x=0 e ela deu ZERO.

E agora?
ln 27 é um minimo da função mesmo? ou é apenas um ponto de inflexão?

porque para ele ser um ponto de minimo a segunda derivada não teria que ter dado um número negativo?

[Fraol]

Boa noite,

Olhando para essa função, sem fazer contas, fico imaginando que se a segunda derivada deu 0, então a 3a, quem sabe a 4a, ... também vai dar 0 - daí pode ser que seja difícil encontrar uma enésima derivada diferente de 0 para analisar.

Por outro lado, como o logaritmando é sempre maior do que 1 (\(x^4 + 27 > 1, \forall x\)) então a função é crescente e o menor valor do logaritmando, 27, define o mínimo da função, ou seja quando \(x=0\).

[Sobolev]

A análise directa da função, tal como sugeriu o fraol, quando se consegue fazer, é sempre o modo mais simples de resolver este tipo de questões. Deixo apenas umas dicas que podem ser úteis noutros casos:

1) Como o logaritmo é uma função crescente, os seus máximos ou mínimos são atingidos quando o seu argumento atinge um máximo ou mínimo. Assim, para determinar os pontos de mínimo e máximo basta estudar a função \(x^4+27\).

2) Como já foi observado, o único ponto crítico é x=0. A ordem primeira derivada que não se anula em x=0 é a derivada de quarta ordem e esta é positiva, pelo que x=0 é minimizante local. Se a ordem da primeira derivada que não se anula fosse ímpar o ponto não seria extremante e se, sendo par, fosse negativa, tratar-se ia de um maximizante local.

3) Como a função é convexa (segunda derivada >= 0) os minimizantes locais serão globais, pelo que a função atinge em x=0 um mínimo global.

[Carlos025]

Muito obrigado, era justamente essa dúvida que tinha, consegui responder valeu.