Prova Conjuntos em Análise Real

[Evariste]

Seja a um número real. Se um conjunto X é tal que a ∈ X e, além disso,
n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X, então X contém todos os números naturais maiores que a.

Olá pessoal, primeiramente eu demonstrei por indução considerando a apenas natural,
fiquei na dúvida quanto a como provar se a for racional ou irracional.

[santhiago]

Não é o suficiente mostrar que \(X\) contém \(\mathbb{N}\) ,isto é , \(X\cap \mathbb{N} = \mathbb{N}\) ?


O conjunto \(\mathbb{N}\) dos naturais possui as seguintes propriedades

i) Existe uma aplicação injetiva \(s : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}\) que associa a cada \(n\) em \(\mathbb{N}\) um elemento \(s(n) := n+1\) em \(\mathbb{N}\) .

ii) \(\exists ! 1 \in \mathbb{N} : 1 \neq s(n) \forall n \in \mathbb{N}\)

iii) Se \(A \subset \mathbb{N}\) é tq 1 \(1 \in \mathbb{N}\) e \(s(A) \subset A\) então \(A = \mathbb{N}\) .