Convexidade em função de uma variável

[albersonmiranda]

Prezados,

Tenho uma função no formato \(Y(t)=k(t)^vK(t)^{\gamma}x\) onde \(K(t)=Nk(t)\).

Diferenciando:
\(\dot{k}=(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-1}N^{\gamma}x\)

É correto afirmar que \(Y(k,Nk,x)\) é convexa em \(k\) se \(v+\gamma>2\)?

[albersonmiranda]

Ops, era \(\dot{Y}\) ali.

[Sobolev]

Penso que sejam precisas algumas condições sobre k(t) para garantir o resultado. Veja que a expressão de \(\dot{Y}\) é a derivada em ordem a t, e não em ordem a k. Assim, tem que começar por obter a expressão de \(\frac{\partial Y}{\partial k}\) através da regra da cadeia, só então deve derivar novamente em ordem a k para analisar a convexidade.

[albersonmiranda]

Ficaria:

\(Y(t)=k(t)^vN^{\gamma}k(t)^{\gamma}x\)

\(Y(t)=k(t)^{v+\gamma}N^{\gamma}x\)

\(\dot{Y}(t)=(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-1}\dot{k}(t)N^{\gamma}x\)

E depois, pela regra do produto (?):

\(\ddot{Y}(t)=[(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-1}]'[\dot{k}(t)N^{\gamma}x]+[(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-1}][\dot{k}(t)N^{\gamma}x]'\)

\(\ddot{Y}(t)=(v+\gamma-1)(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-2}\dot{k}(t)^2N^{\gamma}x+\ddot{k}(t)N^{\gamma}x(v+\gamma)k(t)^{v+\gamma-1}\)

É isso mesmo?

[albersonmiranda]

Obs.: Toda variável/constante/parâmetro só podem assumir valores positivos.

[albersonmiranda]

Ideias?

[Sobolev]

Partindo do principio que \(Y(k,x) = N^{\gamma} k^{\gamma +v} x\) (no principio falou qq coisa sobre uma derivada esquecida...), a convexidade pode ser analisada através da matriz Hesseana

\(H(k,x) = \left(\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 Y}{\partial k^2} & \frac{\partial^2 Y}{\partial k \partial x}\\ \frac{\partial^2 Y}{\partial x \partial k} & \frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} N^{\gamma} x (\gamma+v)(\gamma+v-1)k^{\gamma+v-2} & N^{\gamma}(\gamma+v)k^{\gamma+v-1}\\ N^{\gamma}(\gamma+v)k^{\gamma+v-1} & 0\end{array}\right)\)

Tratando-se de uma matriz indefinida, Y não é convexa como função de k e x. No entanto, considerando apenas a variável k (x seria apenas mais um parâmetro), apenas é relevante o sinal da entrada \(H_{11}\), que realmente é positiva, se \(v + \gamma -1 >0\).