Processo seletivo vagas surgidas Ufes 2013

[Rodss]

Se a função y=f(x) é dada implicitamente pela equação \(x^2y=e^{-y}\), então dy/dx é igual a

resposta: \(\frac{-2xy}{x^2+e^-y}\)

Como faz isso?

[João P. Ferreira]

\(x^2y=e^{-y}\)

derivando em ordem a \(x\) dos dois lados

\(\frac{d}{dx}\left(x^2y\right)=\frac{d}{dx}\left(e^{-y}\right)\)

\((x^2y)'=(e^{-y})'\)

pela regra da derivada do produto e pela regra da derivada da função exponencial

\((x^2)'y+y'x^2=(-y)'e^{-y}\)

\(2xy+y'x^2=-y'e^{-y}\)

\(y'x^2+y'e^{-y}=-2xy\)

\(y'(x^2+e^{-y})=-2xy\)

\(y'=\frac{-2xy}{x^2+e^{-y}}\)