Determinar igualdade entre função trigonométrica e linear

[FelipeSB]

Galera alguém tem ideia de como resolver essa equação?

sen (θ) = θ*c

Sendo que c= 0,703125 e θ em radianos, pertencente ao primeiro quadrante.
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To ligado que θ = 0 satisfaz a equação, mas como faço para descobrir o outro valor, que era o que o problema original queria.

No problema original ele quer descobrir qual ângulo θ em que o sistema entra em equilíbrio com a mola.


Não consegui encontrar um caminho ainda para concluir, no livro ele diz que foi por tentativa e erro, mas deve haver um método para solucionar. O melhor que consegui fazer foi aplicar Séries de Taylor para obter a igualdade

sen (θ) = Σ [(θ²ⁿ⁺¹)*(-1)ⁿ]/(2n+1)!

Trunquei o valor de n começando de 0 até 3 e obtive essa igualdade:

sen(θ) ≈ θ - (θ³/3!) + (θ⁵/5!) - (θ⁷/7!)

Depois igualei isso na equação do problema original:

θ - (θ³/3!) + (θ⁵/5!) - (θ⁷/7!) = θ*c

tirei todos os mínimos, e cheguei nessa equação:

5985θ - 3360θ³ + 168θ⁵ - 4θ⁷ = 0

Como uma das raízes é θ=0 então as outras raízes serão encontradas por esse polinômiozinho aqui:

5985 - 3360θ² + 168θ⁴ - 4θ⁶ = 0

Ainda não consegui solucionar o polinômio mas as raízes são:
θ'= 1,402 rad
θ''= -1,402 rad

Se alguém sabe outro caminho, ou conseguir tirar as raízes agradeço.

Anexos

[Sobolev]

O mais simples é utilizar um método numérico para a resolução da equação. Se utilizar por exemplo o método do ponto fixo, poderá verificar que a sucessão

\(\theta_0 = 1
\theta_{n+1} = \frac{\sin \theta_n}{c}\)

Deste modo, a solução pode ser calculada com a precisão que desejar, bastando para isso calcular mais termos desta sucessão. O erro cometido ao aproximar a solução da equação por \(\theta_n\) é majorado por

\(|\theta - \theta_n| \leq (0.76843)^n\)

Este processo é melhor que a utilização da fórmula de Taylor porque a escolha do grau máximo a utilizar limita à partida o nível de precisão da resposta, independentemente de todos os outros cálculos serem feitos de forma exacta.

[FelipeSB]

Ainda não estudei essa disciplina, desconhecia tal método, mas estou dando uma estudada superficial para entender melhor. Realmente, por Taylor, iria ter um erro um pouco grosseiro.
Obrigado pela resposta.

[FelipeSB]

Só para deixar a solução para quem se interessar e não tiver entendido:

Depois da dica do amigo Sobolev, utilizei outro método de calculo numérico. Utilizei o Método Newton-Raphson, que consiste em utilizar retas tangentes à um ponto p.


As raízes da função sistema serão quando f(x) = 0.

Conhecendo f(x), e esta sendo diferenciável,e conhecendo a equação da reta tangente no ponto p.

f(p) + f'(p)*(x-p) = 0

f'(p)*(x-p) = - f(p)

Dividindo ambos os lados por f'(p):

(x-p) = - f(p)/f'(p)

Somando p em ambos os lados:

x = p - f(p)/f'(p)


Sendo
f(x) = sen(x) - x*k
f'(x) = cos(x) - k


Escolheremos então um p próximo da raiz, farei então p = 1 já que a raiz está entre 1 e 1,5.


x1 = 1 - (sen(1) - 1*k)/(cos(1)-k)
x1 = 1.84967261809

aplicamos o valor obtido novamente na equação, fazendo p=x1.

x2 = 1.84967261809 - (sen(1.84967261809) - 1.84967261809*k)/(cos(1.84967261809) - k)

x2 = 1.50299896534

Aplicando mais algumas vezes obtemos:
x3= 1.40999391497
x4= 1.40206992166
x5= 1.40201204332
x6= 1.40201204023
x7= 1.40201204023

Por conta da precisão da minha calculadora, não é possível deixar a raiz mais precisa.

Portanto a raiz aproximada de f(x) = sen(x) - x*k é 1.40201204023.