Periodicidade de função discreta (Desespero!)

[ericmc]

Olá, essa questão eh do livro Sinais e Sistemas do Oppenheim, é um livro típico de engenharia:

Determinar o período fundamental de x[n] = cos(pi*n²/8) . Meu problema é com esse quadrado aí no n, não sei como me livrar dele. O livro dá como resposta 8 mas não sei como fazer =/

[Sobolev]

Bem, se pelo menos calcular alguns termos da sucessão x(n) verá que a seguinte sequência de valores se repete...

\(\left\{1,\cos \left(\frac{\pi }{8}\right),0,-\cos \left(\frac{\pi
}{8}\right),1,-\cos \left(\frac{\pi }{8}\right),0,\cos \left(\frac{\pi
}{8}\right)\right\}\)

o que realmente corresponde a período 8.

[ericmc]

realmente está correto o que vc fez mas eu tava procurando uma resposta mais analítica. Para esse caso deu para fazer assim pq o período era pequeno... mas imagine se o período fosse enorme, levaria um bom tempo pra achar um padrão de repetição =/

[Sobolev]

Em geral pode usar a definição de função periódica... Deve determinar o menor k que é solução da equação

\(\cos\left( \frac{\pi (n+k)^2}{8}\right) = \cos\left( \frac{\pi n^2}{8}\right)\)

Dependendo da forma concreta da função poderá não se possível obter analiticamente a solução. No entanto, neste caso, podemos ver que a equação anterior é equivalente a

\(\frac{\pi (n+k)^2}{8} = \frac{\pi n^2}{8} + 2m \pi \vee \frac{\pi (n+k)^2}{8} = -\frac{\pi n^2}{8}+ 2m \pi, \qquad m \in \mathbb{Z}\)

Espero que consiga prosseguir!