prove que f(X) tem medida nula

[Walter R]

Favor verificar se minha solução para o problema abaixo está correta:

Problema:
"Se \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) é de Lipschitz e \(X\subset [a,b]\) tem medida nula, então \(f(X)\) tem medida nula".

Solução:

Como \(f\) é de Lipschitz, para quaisquer \(x,y \in [a,b]\), \(\exists K>0\) tal que \(|f(x)-f(y)|\le K|x-y|\).
Por outro lado, dado \(\varepsilon>0\) existe uma família enumerável de intervalos fechados \(I_1,...,I_n,...\) tais que \(X\subset I_1\cup ...\cup I_n\cup ...\) com \(\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|<\frac{\varepsilon}{K}\).
Para cada intervalo \(I_i=[a_i,b_i]\), vale que \(|f(x_i)-f(y_i)|\le K|x_i-y_i|\) para quaisquer \(x_i,y_i \in I_i\). Como a \(f\) é de Lipschitz, \(f(I_i)\) são também intervalos fechados tais que \(f(X)\subset f(I_1)\cup ...\cup f(I_n)\cup ...\) com \(\sum_{i=1}^{\infty}|f(I_i)|\le K\sum |I_i|<K.\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon\), o que prova a tese, salvo melhor juízo.
Abraço!

[Rui Carpentier]

A mim parece bem. Apenas tentaria ser um mais claro no passo \(|f(I_i)|\le K\cdot |I_ i|\) e falta um somatório penúltima desigualdade:

Como \(f\) é de Lipschitz, para quaisquer \(x,y \in [a,b]\), \(\exists K>0\) tal que \(|f(x)-f(y)|\le K|x-y|\).
Por outro lado, dado \(\varepsilon>0\) existe uma família enumerável de intervalos fechados \(I_1,...,I_n,...\) tais que \(X\subset I_1\cup ...\cup I_n\cup ...\) com \(\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|<\frac{\varepsilon}{K}\).
Para cada intervalo \(I_i=[a_i,b_i]\), vale que \(|f(x_i)-f(y_i)|\le K|x_i-y_i|\le K|b_i-a_i|\) para quaisquer \(x_i,y_i \in I_i\), logo \(|f(I_i)|\le K\cdot |I_ i|\). Como a \(f\) é de Lipschitz, \(f(I_i)\) são também intervalos fechados tais que \(f(X)\subset f(I_1)\cup ...\cup f(I_n)\cup ...\) com \(\sum_{i=1}^{\infty}|f(I_i)|\le \sum_{i=1}^{\infty}K|I_i|<K.\frac{\varepsilon}{K}=\varepsilon\), o que prova a tese, salvo melhor juízo.

[Walter R]

Já incluí o somatório, Rui. Muito Obrigado!