mostre que a função é continua

[Daianne]

Mostre que a função \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) é continua se, e somente se, \(f^{-1}(B)\subset A\) é aberto, para todo \(B\subset \mathbb{R}\) aberto. Em outras palavras: f é continua se, e somente se, imagem inverda de conjunto aberto pela funçao f é um conjunto aberto.

[Rui Carpentier]

Primeiro, vamos mostrar que se a pré-imagem de qualquer aberto por f é um aberto então a função f é contínua em qualquer ponto do seu domínio.
Seja \(a\) um ponto qualquer do domínio de f, então, para qualquer \(\varepsilon >0\), \(f^{-1}(]f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon [)\) é um conjunto aberto que contem o ponto \(a\), logo existe um \(\delta >0\) tal que a bola aberta \(B_\delta (a)\) com centro em \(a\) e raio \(\delta\) está contida em \(f^{-1}(]f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon [)\). Portanto, \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\), ou seja, f é contínua em \(a\).

Em seguida, vamos provar que se f é contínua em todo o domínio então a pré-imagem de qualquer aberto por f é um aberto.
Seja \(B\subset \mathbb{R}\) um conjunto aberto, para mostrar que a pré-imagem \(f^{-1}(B)\) é um aberto basta mostrar que qualquer ponto \(a\in f^{-1}(B)\) é interior. Como \(f(a)\in B\) e \(B\) é aberto, existe \(\varepsilon >0\) tal que \(]f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon [\subset B\). Como f é contínua existe \(\delta >0\) tal que a bola aberta \(B_\delta (a)\) é levada em \(B\) (i.e. \(f(B_\delta (a))\subset B\)). Ou seja, \(B_\delta (a)\subset f^{-1}(B)\) e portanto \(a\) é um ponto interior de \(f^{-1}(B)\).