Provar desigualdade usando Teorema do Valor Médio

[Walter R]

Seja \(f:U\rightarrow \mathbb{R}\) uma função de classe \(C^1\) no aberto \(U \subset \mathbb{R}^n\).

a) Mostre que a função \(r(x)\), definida por \(f(x)=f(a)+\sum \frac{\partial f(a)}{\partial x_i}(x_i-a_i) +r(x)\) é de classe \(C^1\) e que \(\frac{\partial r(a)}{\partial x_i}=0\), para todo \(i=1,...,n\);

b) Usando a continuidade das derivadas \(\frac{\partial r(a)}{\partial x_i}\) no ponto a, e o Teorema do Valor Médio, encontre que dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que \(|x-a|<\delta,|y-a|<\delta\Rightarrow |r(x)-r(y)|<\varepsilon|x-y|\);

c).........

Solução:

a) Como \(r(x)\) é uma soma de funções de classe \(C^1\), segue que ela própria é de classe \(C^1\). Observa-se também que \(\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}=0+\frac{\partial}{\partial x_i}\sum \frac{\partial f(a)}{\partial x_i}(x_i-a_i)+\frac{\partial r(a)}{\partial x_i}\Rightarrow \frac{\partial f(a)}{\partial x_i}=\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\frac{\partial r(a)}{\partial x_i}\Rightarrow \frac{\partial r(a)}{\partial x_i}=0\) para todo \(i=1,..,n\).

b) Como \(\frac{\partial r(a)}{\partial x_i}\) é contínua, então pelo Teorema do Valor Médio, existe \(\theta \in (x,y)\) tal que \(|r(x)-r(y)|=\left | \frac{\partial r(\theta)}{\partial x_i} \right ||x-y|\). Além do mais, dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que \(|x-a|<\delta\Rightarrow \left | \frac{\partial r(x)}{\partial x_i}-\frac{\partial r(a)}{\partial x_i} \right |< \varepsilon\Rightarrow \left | \frac{\partial r(x)}{\partial x_i} \right |<\varepsilon\). Pelo mesmo motivo, \(|y-a|<\delta \Rightarrow \left | \frac{\partial r(y)}{\partial x_i} \right |<\varepsilon\). Como se pode concluir daí que \(\left | \frac{\partial r(\theta)}{\partial x_i} \right |< \varepsilon\)?

[Sobolev]

Bom dia Walter,

Como a função resto é de classe C^1 e \(\frac{\partial r}{\partial x_i} (a)=0\) pode, para cada \(\varepsilon\), escolher \(\delta\) de modo que \(\left| \frac{\partial r}{\partial x_i}(\theta)\right| < \varepsilon\) (este \(\delta\) seria o da definição de limite nulo da função resto).

[Walter R]

Olá Sobolev, tudo bem?
Eu sei apenas que \(\frac{\partial r}{\partial x_i}\) é zero no ponto \(a\), ou seja \(\lim_{t\rightarrow 0}\frac{r(a+te_i)-r(a)}{t}=0\). Em princípio, nada sei sobre \(\frac{\partial r}{\partial x_i}\) no ponto \(\theta\). Se para cada \(\varepsilon>0\) eu tiver \(\left |\frac{\partial r(\theta)}{\partial x_i} \right |<\varepsilon\), isto não equivale a dizer que \(\frac{\partial r(\theta)}{\partial x_i}=0\)? Mas não entendi muito bem como você concluiu isto.

[Sobolev]

Oi,

O \(\theta\) depende da vizinhança escolhida...

Como a função r(x) é de classe \(C^1\) e \(\frac{\partial r}{\partial x_i}(a) = 0\),sabemos que podemos encontrar vizinhanças de \(a\) onde \(\frac{\partial r}{\partial x_i}\) é tão pequena quanto quisermos. Então, para cada \(\varepsilon\), podemos considerar uma vizinhança de raio \(\delta\) de \(a\) onde \(\left|\frac{\partial r}{\partial x_i}\right| < \varepsilon\). Tomando x,y nessa vizinhança de raio \(\delta\), e aplicando o TVM nessa vizinhança (note que \(\theta\) também estará nessa vizinhança), tem

\(|r(x)-r(y)| = \left|\frac{\partial r}{\partial x_i}(\theta)\right| |x-y| \leq \varepsilon |x-y|\).