Aplicação de teoria das funções

[eevaristo]

Ajuda por favor nos itens c, d, e.

É dado que: f(\(\sqrt{2}\))=1 e f(u.v)=f(u).f(v)

Obtenha:
a)f(2)=2
b)f(8)=6
c)f(1)=?
d)f(1/2)=?
e)f(\(\sqrt[4]{2}\))

[Sobolev]

a) e b) não estão correctas...

a)
\(f(2) = f(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) \cdot f(\sqrt{2}) = 1 \cdot 1 = {1}\)

b)
\(f(8) = f(2\cdot 4) = f(2) \cdot f(2 \cdot 2) = f(2)\cdot f(2) \cdot f(2) = 1\)

c)
\(f(\sqrt{2}\cdot 1) = f(\sqrt{2})\cdot f(1) \Leftrightarrow 1 = {1} \cdot f(1) \Leftrightarrow f(1)={1}\)

d)
Comecemos por ver que se \(u \ne 0\) então \(f(1/u) = 1/f(u)\)
\(f(u \cdot \frac 1u) = f(u) \cdot f(\frac{1}{u}) \Leftrightarrow 1 = f(u) \cdot f(\frac{1}{u}) \Leftrightarrow f(1/u) = 1/f(u)\)

Neste caso,

\(f(1/2) = 1/f(2) = 1\)

e)

\(f(\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2}) = f(\sqrt[4]{2}) f(\sqrt[4]{2}) \Leftrightarrow 1 = f(\sqrt[4]{2})^2 \Leftrightarrow f(\sqrt[4]{2}) = \pm 1\)

[eevaristo]

Os itens a e b estão de acordo como gabarito. Nenhuma das suas respostas bate com o gabarito.

Por que você diz na letra que \(\sqrt{2}\) é igual a 1? A e b estão certas.

[Sobolev]

O gabarito não está correcto... Veja: sabemos que

\(f(u \cdot v) = f(u) \cdot f(v)\)

Se em particular escolher \(u = v = \sqrt{2}\) terá

\(f(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) \cdot f(\sqrt{2})\)

Mas, tendo em conta que \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\) e ainda que \(f(\sqrt{2}) = 1\), vemos finalmente que

\(f(2)= f(\sqrt{2}) \cdot f( \sqrt{2}) = 1 \times 1 = {1}\).

Tendo falhado a primeira alínea, é muito natural que todas as restantes estejam erradas.