Demonstração partindo de uma função com derivada limitada

[fabio_dias]

Dada \(f:R\rightarrow R\) derivável, com derivada limitada, prove que existe uma constante c ∈ R\{0} tal que a função g:R\(\rightarrow\)R, definida por g(x)=x+cf(x), é bijetiva com inversa derivável.

[Sobolev]

Uma pequena ajuda... Como \(g'(x)= 1 + c f'(x)\) e f' é limitada, podemos escolher c de modo que g' > 0. Desse modo g é diferenciável e injectiva, pelo que tem inversa definida em \(\mathbb{R}\) e essa inversa é derivável (teorema da derivada da função inversa). Resta-lhe provar que g é sobrejectiva.

[Sobolev]

Como g é contínua e crescente, para mostrar a sobrejectividade é suficiente verificar que

\(\lim_{x\to -\infty} g(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty\)

Vejamos o segundo limite: Usando a fórmula de Taylor de ordem 1

\(g(x) = g(0) + g'(\xi_x) x, \quad \xi_x \in [0,x]\)

Se c tiver sido escolhido de modo que não apenas g' > 0, mas também que \(g' > c_0 > 0\), então o limite é dado por

\(\lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (g(0) + g'(\xi_x) x = +\infty\)

Isto porque \(g'(\xi_x)>c_0>0\) e \(\lim_{x\to +\infty} x = +\infty\).

Depois é só proceder do mesmo modo para \(x \to -\infty\).