polinomios

[carlos]

1)Considere o polinômio (definido nos reais) p(x)=x^4-mx^2-4. Existe m∈R , tal que p(x) possua 4 raízes reais? Se sim, calcule os possíveis valores de m. Caso contrário, justifique porque não existe.
2) Mostre que as soluções da equação sinx=ax, com a>0, estão todas no intervalo [-1/a,1/a].

não estou conseguindo resolver.

[Rui Carpentier]

1) \(p(x)=x^4-mx^2-4\) possui 4 soluções reais se e só se \(q(x)=x^2-mx-4\) possui duas soluções reais positivas (note que \(q(x^2)=p(x)\) logo uma solução positiva \(r\) de \(q(x)\) dá origem a duas soluções reais \(\sqrt{r}\) e \(-\sqrt{r}\) de \(p(x)\)). Para tal acontecer é necessário que o discriminante \(\Delta=m^2+16\) seja positivo e que as duas soluções \(\frac{m+\sqrt{m^2+16}}{2}\) e \(\frac{m-\sqrt{m^2+16}}{2}\) sejam ambas positivas. Mas é fácil ver que a segunda é negativa,
\(\frac{m-\sqrt{m^2+16}}{2}<0\) pois \(\sqrt{m^2+16}>|m|\). Portanto \(q(x)\) tem uma solução positiva e uma negativa logo \(p(x)\) só tem duas soluções reais.

2) Seja \(x\) tal que \(\sin x=ax\) com \(a\) positivo. Como a função seno varia entre -1 e 1 temos que \(-1\leq ax\leq 1\), logo \(x\in [-{1}/{a},{1}/{a}]\).

[carlos]

muito obrigado entendi.