Calcule a derivada de arcsen

[MIRLANE]

Olá Pessoal !
Calcule a derivada de:

y = arcsen (\(\sqrt{1-x^2}\))

comecei asssim.

sen(y) = ( \(\sqrt{1-x^2}\))


\(\frac{d}{dx}\) (sen(y)) = cos (y) = \(\frac{dy}{dx}\)


não consigo terminar sei que tenho que derivar a equação com relação a x usando regra da cadeia.
Ou seja fazer o mesmo para \(\sqrt{1-x^2}\) alguém pode me ajudar?

abraços

[josesousa]

Podemos usar a regra da derivação da função composta
\(y=arcsen(\sqrt{1-x^2})=arcsen(u(x))\)
\(y'=arcsen'(u(x)).u'(x)\)
\(y'=\frac{1}{\sqrt{1-u(x)^2}}u'(x)\)
\(y'=\frac{1}{\sqrt{x^2}}(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\)
\(y'=\frac{1}{|x|}(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\)

ou, fazendo como propôs,

\(sen(y)=\sqrt{1-x^2}\)
\(\frac{d}{dx}sen(y)=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\)
\(cos(y).y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.cos(y)}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.cos(arcsen(\sqrt{1-x^2}))}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-sen^2(arcsen(\sqrt{1-x^2})) }}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-(1-x^2)}}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.\sqrt{x^2)}}\)
\(y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}.|x|}\)