Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!!!!

Seja

\(f : A\rightarrow B\) uma função.

Mostre que f é injetora se, e somente se, \(f^{-1}(f(X))=X\) para todo X C A.

Olá!
Em qualquer caso vale que \(f^{-1}(f(X))\supset X\).
Para provar a inclusão contrária, \(x \in f^{-1}(f(X))\Rightarrow f(x)\in f(X)\). Agora,se a \(f\) é injetiva, podemos afirmar que \(f(x)\in f(X)\Rightarrow x \in X\),donde \(f^{-1}(f(X))\subset X\). Note que se a \(f\) não é injetiva,pode-se ter \(f(x) \in f(X)\) sem que se tenha \(x \in X\). Por exemplo: \(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\);\(f(x)=x^2\). Então \(f(X)=[0,1]\) e \(f(-1)=1 \in f(X)\),mas \(-1 \notin X\).