[RESOLVIDO] mZ interseção nZ = mnZ => mdc (m, n) = 1

[lp.vitor]

Alguém poderia me ajudar com isto?
Estou querendo demonstrar que para dois inteiros m e n,

\($( mZ \cap nZ = mnZ ) \Rightarrow mdc (m, n) = 1$\)

onde
mZ = { xm : x é inteiro qualquer }
nZ = { xn : x é inteiro }

Abraços

.
PS: Não achei um fórum de álgebra, então postei aqui. Se alguém souber o local certo para postar isto, por favor, me diga, ou contate algum administrador para que ele mesmo mova o tópico.

Editado pela última vez por lp.vitor em 28 nov 2012, 00:45, num total de 1 vez.

[Rui Carpentier]

Seja \(d=\mbox{m.d.c.}(n,m)\), então \(\frac{nm}{d}\in n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=nm\mathbb{Z}\) pois tanto \(n/d\in\mathbb{Z}\) como \(m/d\in\mathbb{Z}\). Portanto existe \(k\in\mathbb{Z}\) tal que \(\frac{nm}{d}=nmk\), logo \(\frac{1}{d}\in\mathbb{Z}\) o que só pode acontecer se \(d=1\).

[lp.vitor]

Obrigado!
Tá certinho.