Como calcular a inversa de...

[hfsdev]

Pessoal, travei na seguinte:

Se f(x) = 2x + lnx, quanto é f^-1(2)?
Eu consegui fazer até aqui:

f(x) = 2x + lnx
y = 2x + lnx
e^y = e^(2x)e^(lnx)
x= e^y / e^2x

[Fraol]

Olá, boa noite,

Inicialmente fui pelo mesmo caminho que você, também empaquei para isolar o y.

Mas:

Se f(x) = 2x + lnx, quanto é f^-1(2)?

Sabemos que se f associa x a y. A inversa, se existir, associa y a x, isto é:

\(f: x \mapsto y\) então \(f^{-1}: y \mapsto x\) .

Agora, responda quanto é f(1)?

Então \(f^{-1}(2) =\) ...

.

[hfsdev]

Olá, boa noite,

Inicialmente fui pelo mesmo caminho que você, também empaquei para isolar o y.

Mas:

Se f(x) = 2x + lnx, quanto é f^-1(2)?

Sabemos que se f associa x a y. A inversa, se existir, associa y a x, isto é:

\(f: x \mapsto y\) então \(f^{-1}: y \mapsto x\) .

Agora, responda quanto é f(1)?

Então \(f^{-1}(2) =\) ...

.

:D Ótimo raciocínio! Realmente, responde à pergunta.
Mas, será que alguém pode encontrar a função inversa realmente?

[Fraol]

Se você continuasse o seu desenvolvimento inicial:

x= e^y / e^2x

\(x= e^y / e^{2x} => x \cdot e^{2x} = e^y\), bom agora devemos trocar x por y, o que nos dá:

\(y \cdot e^{2y} = e^x\) . Se nós multiplicarmos o primeiro membro por \(\frac{2}{2}\), obtemos.

\(\frac{2y \cdot e^{2y} }{2} = e^x\).

Usando uma linguagem popular veja que a expressão do primeiro membro é algo do tipo: "Uma coisa" X \(e\) elevado a "Uma coisa" ( multiplicado por meio, mas isso não vem ao caso ). Função assim é chamada de "função ômega" e têm uma teoriazinha desenvolvida por vários matemáticos desde o século XVIII. Mas não é a minha praia, por isso optei apenas por resolver o problema. Afinal matemática é resolver problemas, certo?

Bons estudos.


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