Fórum de Matemática
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Considere ∈ ℝ e o polinômio \(p (x) = -12 x^{4} + 32x^{3} - 15x^{2} - 3 +2.\)

(a) Sabendo que p(x) possui apenas uma raiz inteira, encontre essa raiz.

(b) Sabendo que p(x)possui pelo menos uma raiz racional não inteira, encontre essa raiz.

(c) Encontre todas as raízes reais de p(x).

(a) Pense primeiro no que significa o polinómio ter um raíz inteira:
\(-12r^4+32r^3−15r^2−3r+2=0 \Leftrightarrow r(-12r^3+32r^2−15r−3)=-2\)
Ou seja \(r\) divide -2 logo só há quatro valores possíveis para \(r\): -2,-1,1 ou 2 (exercício: encontre qual deles é).

(b) Encontrada a raíz inteira \(r\) podemos dividir o polinómio pelo fator \(x-r\) (pode ser feito pelo método de Rufini ou divisão de polinómios) e ficamos com o polinómio \(-12x^3+8x^2+x-1\) (estou a dar o quociente de graça). Podemos seguir o mesmo procedimento que fizemos anteriormente mas mais rebuscado.
Suponhamos que temos uma raíz racional \(a/b\) (com \(a\) e \(b\) primos entre si) então temos:
\(-12\left(\frac{a}{b}\right)^3+8\left(\frac{a}{b}\right)^2+\frac{a}{b}-1=0 \Leftrightarrow -12a^3+8a^2b+ab^2-b^3=0
\Leftrightarrow a(-12a^2+8ab+b^2)=b^3\)
Como \(a\) e \(b\) são primos entre si, a única possibilidade para a é ser 1 ou -1 (mudando o sinal em \(b\) se necessário podemos assumir que \(a=1\)).
Por outro lado, \(12a^3+8a^2b+ab^2-b^3=0 \Leftrightarrow 8ab+b^2-b^3 = 12a^3 \Leftrightarrow (8a+b-b^2)b = 12a^3 \Rightarrow^{a=1} (8+b-b^2)b = 12\)
Logo b divide 12.
Temos portanto mais uma vez um número pequeno de candidatos: \(b= \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 3, \pm 2\) ou \(\pm 1\). (exercício: ver qual)

(c) Exercício. Depois de encontradas duas raízes resta um polinómio de 2ºgrau e basta aplicar a fórmula resolvente para determinar as restantes raízes.

Nota 1: No enunciado que escreveu está \(p(x)=-12x^4+32x^3−15x^2−3+2\) mas creio que a sua intensão era escrever \(p(x)=-12x^4+32x^3−15x^2−3x+2\).

Nota 2: O método seguido em (a) e (b) nada é mais que a aplicação do teorema das raízes racionais