provar que a função f é injetiva

[Walter R]

Devo mostrar que se f(A-X) = f(A) - f(X), para todo \(X\subset A\), então f é injetiva.

[Fraol]

Olá, Boa noite,

Vendo esse caso agora e, se não me confundi com essa história de \(f(A), f(X)\), ... creio que pode-se tentar, novamente, por contradição.

Nesse caso suporia que \(f\) não é injetiva, escolheria elementos \(x, y \in A\) com \(x \neq y, f(x) = f(y)\). Por fim definiria um conjunto unitário \(X \subset A, X = \left{x \right}\).

Acho que por aí sai, quer tentar um pouco?

[Walter R]

Boa noite! Obrigado pela dica. Já tentei assim, mas a dificuldade é a seguinte: suponha um \(z\in f(X-Y)\). Então existe um \(x\in (X-Y)\), tal que \(z=f(x)\). Mas então \(x\in X\) e \(x\notin Y\). Da mesma forma, \(y\in X\) e \(y\notin Y.\)
Em outras palavras, os elementos que você chamou x e y devem pertencer ao conjunto X, então não pode haver um conjunto X unitário.

[Fraol]

Bom dia,

No conjunto \(X = \left{x \right}\) que propus, só há o elemento \(x\) pois propus \(x \neq y\) (pensando melhor, eu devia ter chamado o \(y\) de \(a\), mas vamos em frente com \(y\) mesmo). A argumentação que usaria é a seguinte:

Sejam \(A, X\) conjuntos tais que \(X \subset A\), \(x,y \in A\), \(x \neq y\), \(X = \left{ x \right}\), \(f(A-X) = f(A) - f(X)\), \(f\) não injetiva, \(f(x) = f(y)\) .

(1) Pela suposição de não injetividade de \(f\), \(f(y) = f(x)\) então \(f(y) \in f(X)\).

(2) Por outro lado, como \(y \neq x\), \(y \in A-X\) então \(f(y) \in f(A-X)\).

(3) Em (1) e (2) temos uma contradição, pois afirmamos que um elemento, \(f(y)\), pertence a um conjunto e ao seu complementar.

(4) Então concluímos que \(f\) é injetiva.

.

[Walter R]

Obrigado mais uma vez! Um abraço.

[Fraol]

Ok!