ínfimo e supremo

[Walter R]

Preciso de ajuda para resolver o seguinte problema:

Sejam X e Y conjuntos não vazios e \(f:XxY \mapsto \mathbb{R}\) uma função limitada. Para cada \(x_{0} \in X\) e \(y_{0} \in Y\), temos \(I(x_{0})= inf[f(x_{0},y)/y\in Y]\) e \(S(y_{0})= sup[f(x,y_{0})/x\in X]\). Isto define funções \(I:X\rightarrow \mathbb{R}\) e \(S:Y\rightarrow \mathbb{R}\). Prove que \(Sup_{y\in Y}I(x)\leq Inf_{x\in X}S(y)\)

[Sobolev]

No fundo quer provar que
\(\sup_x \quad \inf_y f(x,y) \leq \inf_y \quad \sup_x f(x,y)\)

Pode proceder do seguinte modo

\(f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow
\inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow
\sup_x \quad \inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall y \Rightarrow
\sup_x \quad \inf_y \quad f(x,y) \leq \inf_y \quad \sup_x \quad f(x,y)\)

[Walter R]

dedução muito elucidativa. Obrigado!

[paulovieira]

Já agora, quando temos de resolver problemas deste género, as coisas ficam mais claras quando se distingue bem as variáveis "mudas" das variáveis "fixas" (salvo seja). Por exemplo, no início da demonstração do sobolev, temos:

\(f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow
\inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y\)

Logo na primeira linha, no lado esquerdo a variável \(x\) é fixa, mas no lado direito esta variável é muda.

Uma maneira mais clara (a meu ver) de escrever isto seria primeiro fixar \(x \in X, \,\,\,\, y \in Y\), e usar outras variáveis para os ínfimos e supremos. Por exemplo:

Fixado \(x \in X, y \in Y\), temos:

\(f(x,y) \leq \sup_{a \in X} f(a, y)\).
(Aqui a variável muda é \(a\), enquanto \(x, \,\, y\) estão fixas).

Mas esta desigualdade é válida \(\forall y \in Y\), logo vendo as expressões como funções de \(y\), temos

\(\inf_{b \in Y} f(x,b) \leq \inf_{b \in Y} \,\, \sup_{a \in X} f(a, b)\)
(A variável fixa \(y\) desapareceu, foi substituida pela variável muda \(b\)).

E depois é só continuar...