Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja um corte de Dedekind, ou seja, um par ordenado (A,B) onde:
i) A e B são subconjuntos não vazios de números racionais;
ii) A não possui elemento máximo;
iii) A U B = Q
iv) \(x\in A,y\in B\rightarrow x< y\)

Tomando D como o conjunto de todos os cortes de Dedekind, peço que alguém me ajude a provar que a função \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\)
definida por \(f(A,B)=SupA\) é uma bijeção.

Vejamos primeiro que \(f\) é sobrejetiva:

Dado \(x\in\mathbb{R}\), seja \(A_x=\{q\in\mathbb{Q}: q<x\}\) e \(B_x=\mathbb{Q}\setminus A_x\). Então é fácil de ver que \((A_x,B_x)\) forma um corte de Dedekind e \(f(A_x,B_x)=x\).

Agora a injetividade:

Se \((A,B)\) e \((A',B')\) são dois cortes de Dedekind distintos então existe \(q\in\mathbb{Q}\) tal que \(q\in A\setminus A'\) ou \(q\in A'\setminus A\). Sem perda de generalidade suponhamos que \(q\in A'\setminus A\). Então \(q\in B\) (pois \(q\not\in A\) e \(A\cup B=\mathbb{Q}\)), logo \(x<q \forall x\in A\) (pela condição iv da definição de C.D.) portanto \(f(A,B)\leq q\). Por outro lado, como \(q\in A'\) e \(A'\) não tem máximo, temos que \(q<f(A',B')\).
Concluimos então que \(f(A,B)\not=f(A',B')\).

Tem uma questão subjacente a esta demonstração, que é a seguinte: \(supA=infB\). Isto é bem intuitivo, mas como provar?

Como, por iv, para quaisquer \(x\in A\) e \(y\in B\) tem-se \(x<y\), concluimos que qualquer elemento de \(B\) é majorante de \(A\) e qualquer elemento de \(A\) é minorante de \(B\). Logo \(\sup A\) é menor ou igual que qualquer elemento de \(B\) e \(\inf B\) é maior ou igual que qualquer elemento de \(A\). Daqui sai que \(\sup A\leq \inf B\). A igualdade sai da condição iii, \(A\cup B=\mathbb{Q}\), pois se \(\sup A< \inf B\) existiria um \(x\) tal que \(\sup A<x< \inf B\) e como tal não pertenceria nem a \(A\) nem a \(B\).