Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Podem verificar a minha resolução?

Dadas duas funcões f e g tais que a funcão composta g o f é injectiva, relativamente à funcão f podemos afirmar:

a) A funcão f é injectiva
b) A funcão f so é injectiva se g tambem for injectiva
c) A funcão f nunca pode ser injectiva
d) O problema, como colocado, não é conclusivo

Na minha opinião a resposta a) é a correta
mas gostaria de confirmar....

Cumprimentos

Repare que pela definição de função injetiva, pode-se dizer neste caso,

que para todos \(x_1 \neq x_2\Rightarrow g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\)

consegue avançar???

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Obrigado pela ajuda,
mas não sei se percebi o que pretende dizer...

Segundo a definição de função injetiva:
Uma função diz-se injectiva se e somente se quaisquer que sejam x₁ e x₂ ( pertencentes ao domínio da função ),
x₁ é diferente de x₂ implica que f(x₁) é diferente de f(x₂).

logo para g o f ser injetiva, se x₁ é diferente de x₂ então as imagens de g(f(x₁) e g(f(x₂) também têm de ser diferentes.

Na minha opinião a resposta c) está errada porque se f é injetiva não altera o facto de g o f ser injetiva.

Relativamente à opção b) a minha dúvida é porque é que o facto de g ser injetiva implica que f teria de ser sempre injetiva?

Além disso, neste caso, g também tem que ser necessáriamente injetiva ou g poderia ser sobrejetiva?

João P. Ferreira:

Continuo a achar que a resposta correta é a a).
Na tua opinião qual é a resposta correta?

Sei que me apontaste para o caminho certo,
mas não percebi o que pretendias explicar...

Cumprimentos

Caro
Perdão, estive a pensar no assunto

Repare que se se sabe que \(g \circ f\) é injetiva então \(g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\) para \(x_1 \neq x_2\)

ora como g é uma função, ou seja tem apenas uma imagem para cada objeto, \(f(x)\) tem de ser injetiva, logo a resposta a) está certa

repare que se \(f(x)\) não fosse injetiva poderia \(f(x_1)=f(x_2)\) para \(x_1 \neq x_2\) e nesse caso (como \(g\) é uma função) \(g(f(x_1))=g(f(x_2)\) fazendo com que \(g \circ f\) também não fosse injetiva

logo (parece-me) que a resposta a) é a correta

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João Pimentel Ferreira
 
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Tinha quase a certeza que a resposta a) seria a correta
mas não sabia justificar porque é que a b) não estaria correta...

Agora já percebi este exercício!

Obrigado pelo esclarecimento!