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Considerando \(f : X \mapsto \mathbb{R}\) contínua .

Se para todo \(x\) em \(X\) , \(f(x) \in \mathbb{Q}\) .Como posso provar que \(f\) é constante usando que \(\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\) ?

A constância de \(f\) não tem nada a ver com a densidade de \(\mathbb{Q}\) em \(\mathbb{R}\) (por exemplo \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) é denso em \(\mathbb{R}\) e há funções contínuas e não constantes tais que \(f(x)\not=0\)).
Na verdade o enunciado só é verdade se \(X\) é conexo. No máximo temos que \(f\) é constante em cada componente conexa de \(X\) e para mostrar tal basta usar o teorema do valor intermédio na sua versão mais geral (uma função contínua transforma conjuntos conexos em conjuntos conexos). Como em \(\mathbb{Q}\) os conjuntos conexos são os singulares (mais o vazio) a função tem que ser constante em cada componente conexa (pois a imagem deste terá que ser um conjunto singular).

Muito obrigado pela ajuda .