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Problema:

Seja \(f:[0 , + \infty] \rightarrow \mathbb{R}\) contínua em zero. Considere que, \(\forall \alpha >0\), a restrição \(f:[\alpha ,+ \infty]\) é uniformemente contínua. Prove que \(f:[0 , + \infty] \rightarrow \mathbb{R}\) é uniformemente contínua.

Não sei se a questão é mais difícil do que suponho, mas me parece que posso raciocinar assim:

\(f:[\alpha ,+ \infty]\) uniformemente contínua \(\Rightarrow\) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), tal que
\(x,y \in [\alpha , +\infty], \left | x-y \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x) -f(y)\right |<\varepsilon\)


Em particular, para \(y= \alpha\),
\(x,y \in [\alpha , +\infty], \left | x-\alpha \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x) - f(\alpha ) \right |<\varepsilon\)

Fazendo \(\alpha \rightarrow 0\) temos
\(\left | x \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-f(0) \right |<\varepsilon\)

Assim, como f é contínua em zero com o mesmo \(\delta\) que assumimos para a restrição de f, então \(f[0, +\infty]\) é uniformemente contínua.

Gostaria que alguém comentasse esta justificativa. Está correta?

Acho que as ideias estão todas lá embora eu as organizaria de modo diferente.

Queremos provar que \(f\) é uniformemente contínua em \([0,+\infty]\). Ou seja, fixado um \(\varepsilon >0\) arbitário queremos mostrar que existe um \(\delta >0\) tal que \(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \varepsilon\) para quaisquer \(x,y\in [0,+\infty]\).
Como \(f\) é contínua em 0 então para o \(\varepsilon\) dado existe um \(\delta_1 >0\) tal que \(|x|<\delta_1 \Rightarrow |f(x)-f(0)|< \varepsilon /2\).
Por outro lado, \(f\) é uniformemente contínua em \([\alpha ,+\infty]\) para qualquer \(\alpha >0\), em particular \(f\) é uniformemente contínua em \([\delta_1/2 ,+\infty]\). Logo, existe \(\delta_2 >0\) tal que \(|x-y|<\delta_2 \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \varepsilon\) para quaisquer \(x,y\in [\delta_1/2 ,+\infty]\).
Tomando \(\delta =\min\{\delta_1/2,\delta_2\}\), temos que para quaisquer \(x,y\in [0,+\infty]\), se \(|x-y|<\delta\) então ou \(x,y\in [\delta_1/2 ,+\infty] \wedge |x-y|<\delta_2\) e portanto \(|f(x)-f(y)|< \varepsilon\) ou \(x,y\in [0,\delta_1]\) e então \(|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(0)|+|f(y)-f(0)| < \varepsilon\).

só uma pergunta, Rui. Porque você adotou \(\frac{\delta _1}{2}\) e não simplesmente \(\delta _1\)?

É preciso considerar \([\delta_1/2 ,+\infty]\) em vez de \([\delta_1 ,+\infty]\) (e \(\delta=\min\{\delta_1/2,\delta_2\}\) em vez de \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\)) pois temos que garantir que se \(|x-y|<\delta\) então \(x,y\in [\alpha ,+\infty]\) ou \(x,y\in [0,\delta_1)\) para o argumento funcionar.
Se se tomasse \(\alpha=\delta_1\) poderia acontecer que \(x<\delta_1<y\) e então não teríamos \(x,y\in [\alpha ,+\infty]\) nem \(x,y\in [0,\delta_1)\) (mesmo que \(|x-y|<\delta\)).
No entanto, considerando \(\alpha=\delta_1/2\) e \(\delta=\min\{\delta_1/2,\delta_2\}\) temos a garantia que se \(x\not\in[\alpha ,+\infty]\) e \(|x-y|<\delta\) então \(x,y\in [0,\delta_1)\).

Está claro. Obrigado, Rui.