Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Agradeceria uma sugestão para resolver o seguinte problema:

" Seja \(f:[0,\infty] \rightarrow \mathbb R\) derivável. Suponha que existam os limites \(lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)= A\) e \(lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)=B\). Prove que \(B=0\)

que tal assim:
como existe \(lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)=A\), podemos afirmar que \(lim_{x \rightarrow +\infty}(f(n+1)-f(n))= 0\). Seja então \(x \in [n,n+1]\). Pelo Teorema do Valor Médio, \(f(n+1)-f(n)= f'(x).1\). Aplicando limite ao infinito a ambos os lados da equação, não chegamos ao resultado pretendido?

Boa pergunta

Aqui vai resolução

\(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \lim_{x \to +\infty} f'(x)=\lim_{x \to +\infty}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\lim_{x\to +\infty}f(x+h)-\lim_{x \to +\infty}f(x)}{h}=\\ =\lim_{h \to 0}\frac{A-A}{h}=0\)

meu caro, já que nos coloca perguntas algo complexas, é hora de começar a retribuir à comunidade respondendo a quem precisa, pois vejo que tem bons conhecimentos matemáticos

search.php?search_id=unanswered

um bem-haja

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Quem me dera, João!
Talvez eu possa contribuir auxiliando os estudantes de ensino médio, pois em relação à Matemática Superior sou simples aprendiz. Falta-me maturidade matemática para discutir temas mais complexos.
Obs. Obrigado pela resposta!

Claro, referia-me a essas perguntas de ensino médio, está apto para responder

Saudações pitagóricas

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João Pimentel Ferreira
 
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