Conjuntos

[Raphael Santos]

Dado o número natural a, seja Y contido nos Naturais N, um conjunto com as seguintes propriedades:
(1) a pertence a Y.
(2) n pertence a Y então n+1 pertence a Y.

Prove que Y contém todos os números naturais maiores do que ou iguais a a.

[João P. Ferreira]

Considerando que:

Se \(n \in Y \Rightarrow (n+1) \in Y\)

e que \(Y \subset \mathbb{N}\)

concluímos que \(Y\) é composto apenas por números naturais e que qualquer número natural que pertença a \(Y\) também pertencerá o natural seguinte; e assim sucessivamente. Concluímos que para qualquer natural que pertença a \(Y\), \(Y\) conterá todos os naturais iguais ou maiores que esse número.

Como \(a\) pertence a \(Y\), então \(Y\) contém todos os naturais maiores ou iguais a \(a\)

É fácil também atestar que \(Y\) não é majorado

[Leonardo]

As propriedades citadas são os passos para o desenvolver do método de indução matemática.
onde:
1° base: n=a é demonstrado a sua validade;
2º passo indutivo: se n é verdadeiro então n+1 também será ,demonstra-se também a sua validade.
Como esses passos já são ditos que são verdadeiros e preenchem a validade da indução matemática, então por processo de indução é para todo \(n\geq a\)