limite no infinito- domínio x^x

[muller]

Olá. Boa noite, sou novo no fórum e peço desculpa se por ventura estiver postando de uma forma um em um local incorreto.

Alguém pode me ajudar na resolução deste exercício?

(x+1)^x/x^x quando x tende ao infinito

O que eu fiz foi chegar em (x+1/x)^x, e portanto, qdo x tende ao infinito, a função tende a e(2,7182...),

Mas, se está onde caminhei está tudo correto, não entendi por que quando ploto a função numa calculadora gráfica qdo ela está na primeira forma, o domínio da função são só os reais positivos. Qual é a restrição que existe ali? Notei que o mesmo ocorre com as funções em gerais x^x. Qual é a restrição que existe para que o domínio seja só os reais positivos?

Obrigado.

[João P. Ferreira]

Olá

Refere-se a isto?

\(\lim_{x \to +\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}\)

Caso seja

\(\lim_{x \to +\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}= \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x+1}{x}\right )^x= \lim_{x \to +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right )^x=e\)

este último limite é um limite notável
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_l ... .C3.A1veis

[muller]

João, obrigado. Isso mesmo. Mas o que me deixou confuso foi que quando eu coloco a função na calculadora gráfica da primeira forma, o domínio são só os reais positivos. Já da segunda forma ( quando se evidencia o limite notável) o domínio são os reais positivos e negativos exceto no intervalo (-1,0). Não deveria ser o mesmo domínio? Ou as funções não são exatamente idênticas?

[João P. Ferreira]

Isso é porque o domínio da função \(f(x)=x^x=e^{x.\ln(x)}\)
é \(x\in \R^+\)

Repare ainda que a função \(x\times 1/x=1\) tem domínio em \(\R\)
Mas se vir separadamente \(1/x\) tem domínio em \(\R\setminus\{0\}\)

O que significa que para se analisar o domínio, precisa de simplificar a função ao máximo, pois podem haver elementos em comum que cortam ou que se associam

Saudações

[muller]

Entendi, João. Muito obrigado pelo esclarecimento.