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| estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=10726 |
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| Autor: | miguel.silva [ 23 mar 2016, 18:43 ] | ||
| Título da Pergunta: | estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras | ||
Estudar a continuidade da função definida por: (anexo) Preciso só de dizer que é contínua em R^2 porque: -> Quando x ≥ y é contínua porque f(x)= x é uma função contínua -> Quando x < y é contínua porque f(x)= y é uma função contínua Está certo? Obrigado
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| Autor: | Sobolev [ 23 mar 2016, 19:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras |
Não... O seu raciocínio é válido para y>x e para y < x, mas ainda tem que esclarecer o que se passa sobre a recta y = x. Neste caso, realmente, a função também acaba por ser contínua sobre a recta y = x, mas a justificação que fornece não é válida. Tem que mostrar que \(\lim_{(x,y) \to (a , a)}\,\,\,\, f(x,y) = a.\) |
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| Autor: | miguel.silva [ 24 mar 2016, 12:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras |
O que corresponde ao primeiro ramo em que x=y, logo fica \(\lim x = a\) \((x,y)\rightarrow (a,a)\) O limite existe logo em x=y também é contínua. Está certo? obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 28 mar 2016, 15:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: estudar acontinuidade funcao por ramos duas palavras |
Não Miguel, não está certo... (x,y) pode estar a tender para (a,a) por pontos que não pertencem ao ramo que refere. Tem realmente que atender à definição de limite para funções de várias variáveis. Neste caso pode usar o seguinte resultado: Se o domínio da função puder ser decomposto num número finito de conjuntos \(B_1, \cdots, B_k\) de tal modo que \(x_0\) pertence à aderência de todos esses conjuntos então \(\lim_{x \to x_0} f(x) =b \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_1} f(x) = \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_2} f(x) = \cdots \lim_{x \to x_0 \\ x \in B_k} f(x) = b\). Nest caso pode usar os conjuntos \(B_1= \{(x,y): x \ne y \}, \quad B_2 = \{(x,y): x=y}\). |
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