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| Demonstração de limites pela definição. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=10745 |
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| Autor: | GustavoFerreira [ 26 mar 2016, 19:23 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstração de limites pela definição. [resolvida] |
Se a função \(f\) definida por \(f(x)=0\) se x é racional e \(f(x)=1\) se x é irracioanl, demonstre, pela definição, que \(\lim_{x \to 0}f(x)\) não existe. |
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| Autor: | Sobolev [ 29 mar 2016, 20:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração de limites pela definição. |
Em qualquer vizinhança de x = 0 existem pontos onde a função vale zero (racionais) e pontos onde a função vale 1 (irracionais). É então possível contruir as seguintes sucessões: \(x_n \to 0, \quad (x_n) \subset \mathbb{Q} y_n \to 0, \quad (y_n) \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) Usando a definição de limite segundo Heine, se o limite existisse deveríamos ter \(\lim f(x_n) = \lim f(y_n)\). No entanto \(\lim f(x_n) = \lim 0 = {0} \lim f(y_n) = \lim 1 = {1}\) Concluímos assim que o limite não pode existir. |
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