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| Definir função que gera um loop https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=11027 |
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| Autor: | deeputado [ 03 mai 2016, 04:44 ] |
| Título da Pergunta: | Definir função que gera um loop |
Olá, recentemente enquanto jogava um joguinho da internet chamado ikariam me deparei com o seguinte problema: O crescimento populacional da minha cidade é definido por Cp=0,02(S-P) sendo Cp o crescimento populacional em habitantes/hora S= o nível de satisfação da cidade, que varia conforme minhas ações, para esse problema considere uma constante. P= a população atual da cidade. Gostaria de saber qual seria a função da população no tempo. é facil notar que não é simplesmente multiplicar o Cp pelo tempo, por que ele vai variar no decorrer do tempo Por exemplo, se o crescimento populacional agora é 4 hab/hora, daqui a 1 hora a população vai ter aumentado aproximadamente 4, por tanto, o Cp vai ser menor. Então a função da população, pelo pouco que sei de integral seria a ∫Cpdt, no entanto, n sei resolver isso, por que o Cp está em função de P, e P seria essa integral, entrando num loop. Alguem poderia me ajudar a definir essa função? Mostrar como resolver essa integral, ou onde eu errei nessa análise? Obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 03 mai 2016, 15:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Definir função que gera um loop [resolvida] |
A única coisa que lhe falta é relacionar \(C_p\) com \(P\). Uma forma óbvia é admitir que \(C_p(t)\) corresponde exactament à derivada \(P'(t)\). o problema é portanto determinar uma função \(P(t)\) que verifique \(P'(t)=0.02(S - P(t))\). A solução desta equação diferencial é \(P(t)= S + k e^{-0.02 t}\), em que a constante k é calculada de modo a satisfazer uma determinada condição inicial. Por exemplo, se a população no instante t =0 for 1000, teremos que \(S+ k e^{-0.02\times 0}=1000\), pelo que k = 1000 - S e a solução será dada por \(P(t)=S + (1000-S)e^{-0.02 t}\). |
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