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Sabe-se que, para valores de x tendendo a zero, é válida a igualdade x / sen x = 1 + x² / 6. Eu tentei chegar neste resultado por meio de expansão em série de Taylor:

sen x = x - x³ / 6 + ...

Então:

x / sen x = x / (x - x³ / 6)
x / sen x = 1 / (1 - x² / 6)

A partir daí, não consegui mais trabalhar na equação para torná-la igual ao enunciado. Alguém sabe me dizer como chegar ao resultado do enunciado?

P.S.: Eu julguei que a resolução seria por expansão em série de Taylor, mas não há problema se for feita por outro caminho.

Pode de facto ser feita através do desenvolvimento de x/senx em série de Taylor até grau 2. Uma possibilidade é determinar o valor da função x/senx, da sua derivada e da segunda derivada no ponto zero, uma vez que \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\mathcal{o}(x^2)\) (Nota: \(\mathcal{o}(x^2)\) significa um termo de ordem superior a dois*). Mas a forma mais simples talvez seja determinar o polinómio de Taylor de grau 2 da função \(\frac{x}{\mbox{sen}x}=a+bx+cx^2+\mathcal{o}(x^2)\) através da igualdade:
\(1=\frac{x}{\mbox{sen}x}\frac{\mbox{sen}x}{x}=\left(a+bx+cx^2+\mathcal{o}(x^2)\right)\left(1-\frac{x^2}{6}+\mathcal{o}(x^2)\right)=a+bx+\left(c-\frac{a}{6}\right)x^2+\mathcal{o}(x^2)\)
donde se tira \(a=1, b=0\) e \(c=\frac{1}{6}\). Note que \(\mathcal{o}(x^2)\) multiplicado por qualquer função limitada continua a ser \(\mathcal{o}(x^2)\). Para o caso eventual de ficar essa dúvida no ar: \(\frac{\mbox{sen}x}{x}=\frac{x-\frac{x^3}{6}+\mathcal{o}(x^3)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\mathcal{o}(x^2)\).

* Diz que uma dada função \(f(x)=\mathcal{o}(x^2)\) se \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0\).