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| Máximos e Mínimos, Concavidades e Teoremas. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=11182 |
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| Autor: | Givaldo Fernandes [ 20 mai 2016, 05:32 ] |
| Título da Pergunta: | Máximos e Mínimos, Concavidades e Teoremas. [resolvida] |
Seja f(x) uma função derivável no intervalo (−1, 1) e suponha que f'(x) = x² +(f(x))², para todo x ∈ (−1, 1) e, além disso, que f(0) = 0. a) Mostre que em x = 0 a reta tangente ao gráfico de f(x) é horizontal e que o ponto de abscissa x = 0 não é de máximo nem de mínimo. b) Determine os intervalos onde f(x) é côncava para cima e para baixo. Fiz da seguinte maneira a letra a) f'(0) = 0² + (f(0))², como f(0) = 0 => f'(0) = 0 + 0 = 0; Daí conclui-se que a reta tangente a curva em x = 0 é horizontal, como f'(x) >= 0 => f é sempre crescente, logo (0,0) não pode ser máximo nem mínimo. Se eu tiver errado algo e quais teoremas eu deveria informar, por favor, avisem. Já a letra b) não estou tendo ideias e peço ajuda. |
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| Autor: | Sobolev [ 20 mai 2016, 08:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Máximos e Mínimos, Concavidades e Teoremas. |
A alínea a) está ok. Relativamente a b) pode simplesmente calcular a segunda derivada: \(f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + (f(x))^2)' = 2x + 2 f'(x) f(x) = 2x + 2(x^2+(f(x))^2)f(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3\) Como f(0) = 0 e \(f'(x)>0, x \ne 0\) concluímos que a função f toma valores negativos para x<0 e valores positivos para x>0. Então, 1. Se x >0, temos que f(x)>0 pelo que \(f''(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3 >0\) (soma de 3 parcelas positivas). A função é convexa (concavidade voltada para cima). 2. Se x < 0, temos que f(x) < 0 pelo que \(f''(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3 < 0\) (soma de 3 parcelas negativas). A função é contava (concavidade voltada para baixo). 3. x=0 é um ponto de inflexão já que \(f''(0) = 0\) e f'' muda de sinal. |
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| Autor: | Givaldo Fernandes [ 20 mai 2016, 13:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Máximos e Mínimos, Concavidades e Teoremas. |
Muito obrigado. :D |
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