Meu caro, um pouco de moderação... Um exercício/problema por tópico
Ora então
Temos esta função:
\(f(u,v,w)=\frac{cos(u-v)-1}{1-sin(u+w)}\)
Como estamos perante uma fração o domínio será todo o \(\Re^3\) à exceção dos casos em que o denominador é igual a zero. Ou seja
\(D=\left{(u,v,w) \in \Re^3 \ : \ 1-sin(u+w) \neq 0\right}\)
Vamos ver então quando é que \(1-sin(u+w)=0\)
Que é equivalente a escrever
\(sin(u+w)=1\)
\(u+w=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z}\)
Assim:
\(D=\left{(u,v,w) \in \Re^3 \ : \ u+w\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in \mathbb{Z} \right}\)
Para achar o gradiente basta achar as várias derivadas parciais
\(\nabla f = \left[ \frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial w} \right]\)
Para achar o ponto onde o gradiente se anula basta fazer:
\(\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial u}=0\\
\frac{\partial f}{\partial v}=0\\
\frac{\partial f}{\partial w}=0 \end{cases}\)
Volte sempre meu caro