Achar o Ponto da reta tangente a curva

[Gabriela Amaral]

A reta tangente à curva y = -x⁴ + 2x² + x no ponto ( 1 , 2 ) é também tangente à curva em outro ponto. Fazendo o passo a passo, ache este ponto.

GABARITO: ( -1 , 0 )

[Estanislau]

Não dá para compreender o que é que quer. Gostou do enunciado e quis partilhá-lo? Ou tem dúvidas? Então, quais?

[Baltuilhe]

A reta tangente à curva y = -x⁴ + 2x² + x no ponto ( 1 , 2 ) é também tangente à curva em outro ponto. Fazendo o passo a passo, ache este ponto.

GABARITO: ( -1 , 0 )

Boa tarde, Gabriela!

Vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (1,2):
Derivando a função original:
\(y{=}-x^4+2x^2+x
y'{=}-4x^3+4x+1
y'{=}f'(x){=}f'(1){=}-4(1)^3+4(1)+1{=}-4+4+1{=}1\)

Agora que temos a inclinação da reta tangente, podemos calcular a equação da mesma:
\(y-y_0{=}m(x-x_0)
y-2{=}1(x-1)
y{=}x-1+2
\fbox{y=x+1}\)

De acordo com o enunciado existe outro ponto ao qual esta mesma equação é tangente à curva.
Podemos, então, procurar outro ponto no qual a derivada valha 1 (mesma inclinação) e verificar se a reta é ou não tangente neste ponto.
\(f'(x){=}-4x^3+4x+1{=}1
-4x(x^2-1){=}0
x{=}0
x{=}1
x{=}-1\)

Estes são, portanto, os 3 pontos com mesmo coeficiente angular (1).
Vamos tentar identificar por qual destes pontos a reta 'tangencia' também além do x=1, que foi o ponto dado pelo enunciado:
\(x{=}0
f(x){=}-x^4+2x^2+x
f(0){=}-0^4+2(0)^2+0{=}0\)

Verificando a equação da reta tangente:
\(y{=}x+1
y{=}0+1{=}1\)

Ou seja, no ponto x=0 a reta y=x+1 não toca a equação.

Outro ponto x=-1:
\(x{=}-1
f(x){=}-x^4+2x^2+x
f(-1){=}-(-1)^4+2(-1)^2+(-1){=}-1+2-1=0\)

Verificando a equação da reta tangente:
\(y{=}x+1
y{=}-1+1{=}0\)

Ou seja, no ponto x=-1 tanto a reta tangente quanto a equação possuem ordenadas iguais a zero. Como a inclinação é a mesma este é um ponto de tangência.

Portanto, ponto (-1,0) é a resposta!

Espero ter ajudado!