Um polinomio tem 5 zeros distintos, mostra que P' tem 4 zeros.
25 nov 2017, 17:24
Exercicio marcado como dificuldade elevada e não sei como resolver. Tenho que usar derivadas? Eu estou a dar continuidade teorema de Bolzano-couchy e o seu corolario. Exercício a azul.
Re: Um polinomio tem 5 zeros distintos, mostra que P' tem 4 zeros. [resolvida]
25 nov 2017, 18:43
David,
não sei qual a relação desta questão com o Teorema de Bolzano Cauchy:
"se \(f(x)\) é contínua em \([a,b]\) e \(f(a).f(b)<0\), então \(f(x)\) tem pelo menos uma raiz em \(]a,b[\)"
mas,
veja se te ajuda:
polinômio de grau 5 com 5 raízes distintas, pode ser obtido da seguinte forma:
\(P(x)=a_n(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)\)
onde,
coeficiente dominante:
\(a_n\neq0 \in \mathbb{R}\)
e
as 5 raízes distintas:
\(1,-1,2,-2,3\)
assim, o polinômio seria:
\(P(x)=a_n(x^5-3x^4-5x^3+15x^2+4x-12\)
derivando teremos:
\({P}'(x)=a_n(5x^4-12x^3-15x^2+30x+3\)
o que prova que \({P}'\) tem 4 zeros.
não sei qual a relação desta questão com o Teorema de Bolzano Cauchy:
"se \(f(x)\) é contínua em \([a,b]\) e \(f(a).f(b)<0\), então \(f(x)\) tem pelo menos uma raiz em \(]a,b[\)"
mas,
veja se te ajuda:
polinômio de grau 5 com 5 raízes distintas, pode ser obtido da seguinte forma:
\(P(x)=a_n(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)\)
onde,
coeficiente dominante:
\(a_n\neq0 \in \mathbb{R}\)
e
as 5 raízes distintas:
\(1,-1,2,-2,3\)
assim, o polinômio seria:
\(P(x)=a_n(x^5-3x^4-5x^3+15x^2+4x-12\)
derivando teremos:
\({P}'(x)=a_n(5x^4-12x^3-15x^2+30x+3\)
o que prova que \({P}'\) tem 4 zeros.