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Função inversa, função injectiva, crescente, monotonia, tangente num ponto, continuidade
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Mostra que a reta AB passa no centro de simetria do gráfico de f se e só se bc=2ad

25 jan 2018, 19:04

Boa tarde, :)
Alguém me pode ajudar a resolver este problema? Eu consegui determinar a equação da reta AB mas não consegui fazer mais nada (a equação deu-me: y=a/d *x +b)

Considere a família de funções definidas por f(x)=(ax+b)/(cx+d) com a,b,c,d pertencentes a lR exceto 0 e a/c diferente de b/d
Sejam A e B os pontos em que o gráfico de f interseta os eixos coordenados
Mostra que a reta AB passa no centro de simetria do gráfico de f se e só se bc=2ad

Nas soluções só aparece isto:
Coordenadas do centro de simetria (-d/c; a/c)
Equação da reta AB y=a/d x + b/d


Muito obrigado a quem me puder ajudar!

Re: Mostra que a reta AB passa no centro de simetria do gráfico de f se e só se bc=2ad  [resolvida]

27 jan 2018, 18:23

Seja A o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas e B o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas. Temos então que \(A=(\alpha,0)\) onde \(f(\alpha)=0\Leftrightarrow \frac{a\alpha +b}{c\alpha +d}=0\Leftrightarrow a\alpha +b=0\Leftrightarrow \alpha=-\frac{b}{a}\), logo \(A=\left(-\frac{b}{a},0\right)\). E por outro lado, \(B=(0,f(0))=\left(0,\frac{b}{d}\right)\). Daqui se tira que a equação da reta que passa pelos pontos A e B é \(y=mx+k\) com \(k=f(0)=\frac{b}{d}\) e \(0=m\alpha +k \Leftrightarrow m=-\frac{k}{\alpha}=-\frac{\frac{b}{d}}{-\frac{b}{a}}=\frac{a}{d}\), portanto a equação da reta é \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\).
O centro de simetria do gráfico de f é o ponto de interseção da assímptota vertical, onde o denominador da função é nulo: \(cx+d=0\Leftrightarrow x=-\frac{d}{c}\), com a assímptota que aproxima o gráfico no infinito, que neste caso é uma assímptota horizontal com equação \(y=\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{a}{c}\). Portanto o centro de simetria é \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\).
Podemos então concluir que \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\) pertence á reta de equação \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\) se e só se \(\frac{a}{c}=-\frac{a}{d}\frac{d}{c}+\frac{b}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c}=-\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\Leftrightarrow \frac{2a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow 2ad=bd\).

Re: Mostra que a reta AB passa no centro de simetria do gráfico de f se e só se bc=2ad

27 jan 2018, 22:15

Rui Carpentier Escreveu:Seja A o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas e B o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas. Temos então que \(A=(\alpha,0)\) onde \(f(\alpha)=0\Leftrightarrow \frac{a\alpha +b}{c\alpha +d}=0\Leftrightarrow a\alpha +b=0\Leftrightarrow \alpha=-\frac{b}{a}\), logo \(A=\left(-\frac{b}{a},0\right)\). E por outro lado, \(B=(0,f(0))=\left(0,\frac{b}{d}\right)\). Daqui se tira que a equação da reta que passa pelos pontos A e B é \(y=mx+k\) com \(k=f(0)=\frac{b}{d}\) e \(0=m\alpha +k \Leftrightarrow m=-\frac{k}{\alpha}=-\frac{\frac{b}{d}}{-\frac{b}{a}}=\frac{a}{d}\), portanto a equação da reta é \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\).
O centro de simetria do gráfico de f é o ponto de interseção da assímptota vertical, onde o denominador da função é nulo: \(cx+d=0\Leftrightarrow x=-\frac{d}{c}\), com a assímptota que aproxima o gráfico no infinito, que neste caso é uma assímptota horizontal com equação \(y=\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{a}{c}\). Portanto o centro de simetria é \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\).
Podemos então concluir que \(C=\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)\) pertence á reta de equação \(y=\frac{ax}{d}+\frac{b}{d}\) se e só se \(\frac{a}{c}=-\frac{a}{d}\frac{d}{c}+\frac{b}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c}=-\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\Leftrightarrow \frac{2a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow 2ad=bd\).


Muito obrigado pela ajuda!

Re: Mostra que a reta AB passa no centro de simetria do gráfico de f se e só se bc=2ad

14 set 2019, 15:39

" (a equação deu-me: y=a/d *x +b) "

Pois deveria dar-te y=a/d*x+b/d ou seja, \(x= \frac{a}{d}x+\frac{b}{d}\), o que pretendias era o que a figura mostra :

simetria.png
As linhas a tracejado verticais e horizontais são as assimptotas da função e a linha tracejado diagonal é a paralela à reta AB que se pretende
simetria.png (26.49 KiB) Visualizado 172 vezes


Basicamente calcula-se o centro de simetria (neste caso a interseção das assimptotas ) e obtém-se um ponto C de simetria.

Depois usa-se o declive da reta AB (\(m=\frac{a}{d}\)) e esse ponto C para saberes a equação reta que passa no ponto C de simetria.

Para as retas serem iguais então :

\(\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}=\frac{a}{d}x+2\frac{a}{c}\), ou seja :

\(\frac{a}{d}x=\frac{a}{d}x\) e \(\frac{b}{d}=2\frac{a}{c}\) e aqui tens a resposta.

Até!
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