A função f:(0,+∞) → R, definida por f(x)=x^x, possui um único ponto crítico, que ocorre em x igual a ?

[paula.citelli]

Boa noite!

Não estou conseguindo resolver o problema descrito no título.. Por favor, poderiam me ajudar ?
Aqui abaixo está a pergunta novamente, com as opções de resposta:

A função f:(0,+∞) → R, definida por f(x)=x^x, possui um único ponto crítico, que ocorre em x igual a ?

a) 0
b) 1/e
c) 1
d) e
e) e^e

Desde já, muito obrigada !!!

[Gian]

então cara... n sei se seria essa a resposta mas eu resolvi da seguinte forma:

no enunciado diz que a função pertence aos reais e que a sua lei de formação é f(x) = x^x
no caso em que se substitui o X por ''1/e'', a gnt chega na relação: f(x) = (1/e)^(1/e) -> f(x) = ^e√(1/e) -> f(x) = 1/^e√e --racionaliza--> f(x) = ^e√e/e

nesse caso, há valores que ''e'' pode assumir que não pertencerão ao conjunto dos reais.
então pra mim a resposta é 1/e

mas por via das duvidas espera ai resposta de cara q manje mais kkk

[Fraol]

Oi, você pode ter visto que \(x^x\) é o mesmo que \(e^{ln(x^x)} = e^{x.ln(x)}\), por propriedades de logaritmos.

Para derivar \(e^{x.ln(x)}\), derivamos a exponencial e o expoente (que é função de x):

\(=e^{x.ln(x)} \cdot (1 \cdot ln(x) + x \cdot \frac{1}{x})\)

\(= e^{x.ln(x)} \cdot (ln(x)+1)\)

Para encontrar o ponto crítico, devemos igualar esta derivada a 0.

\(= e^{x.ln(x)}\) é diferente de zero, sempre, certo?

Então \(= (ln(x)+1) = 0 \Leftrightarrow e^{-1} = x\)

Então o ponto crítico ocorre em \(x = \frac{1}{e}\).

Pergunta: esse ponto crítico é de máximo, de mínimo, etc.?