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maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=14208 |
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Autor: | g.santos [ 10 jul 2019, 21:11 ] |
Título da Pergunta: | maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote |
Um pacote contém N balas. Sabe-se que N ≤ 29 e que há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte contendo todas as N balas. Então, o resto da divisão de N por 5 é igual a r 4. |
Autor: | jorgeluis [ 11 jul 2019, 17:08 ] |
Título da Pergunta: | Re: maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote |
g.santos, \(N=24\), 8 maneiras de dividir N: \(1,2,3,4,6,8,12,24\) \(24:5=4,r=4\) |
Autor: | Rui Carpentier [ 13 jul 2019, 16:24 ] |
Título da Pergunta: | Re: maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote |
O resultado do Jorge Luis está correto, para lá chegar pode usar o seguinte raciocínio: "há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte contendo todas as N balas" significa que N tem 8 divisores. Ora, decompondo N em fatores primos: \(N=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\), temos que o número de divisores de N é \((e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)=8\). Há apenas três decomposições de 8 em produtos de outros números: \(8\) (caso \(N=p^7\)), \(4\times 2\) (caso \(N=p_1^3p_2\)) ou \(2\times 2\times 2\) (caso \(N=p_1p_2p_3\)). No primeiro caso, \(p^7\ge 2^7>29\) logo podemos descartá-lo. O mesmo acontece no terceiro caso: \(p_1p_2p_3\ge 2\times 3\times 5>29\). Resta apenas o segundo caso: \(N=p_1^3p_2\) que só é inferior a 30 quando \(p_1=2\) e \(p_2=3\). Portanto N=24. |
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