maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote

[g.santos]

Um pacote contém N balas. Sabe-se que N ≤ 29 e que há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte contendo todas as N balas. Então, o resto da divisão de N por 5 é igual a

r 4.

[jorgeluis]

g.santos,
\(N=24\),

8 maneiras de dividir N:
\(1,2,3,4,6,8,12,24\)

\(24:5=4,r=4\)

[Rui Carpentier]

O resultado do Jorge Luis está correto, para lá chegar pode usar o seguinte raciocínio:
"há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte contendo todas as N balas" significa que N tem 8 divisores. Ora, decompondo N em fatores primos: \(N=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\), temos que o número de divisores de N é \((e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)=8\). Há apenas três decomposições de 8 em produtos de outros números: \(8\) (caso \(N=p^7\)), \(4\times 2\) (caso \(N=p_1^3p_2\)) ou \(2\times 2\times 2\) (caso \(N=p_1p_2p_3\)). No primeiro caso, \(p^7\ge 2^7>29\) logo podemos descartá-lo. O mesmo acontece no terceiro caso: \(p_1p_2p_3\ge 2\times 3\times 5>29\). Resta apenas o segundo caso: \(N=p_1^3p_2\) que só é inferior a 30 quando \(p_1=2\) e \(p_2=3\). Portanto N=24.