(a) Pense primeiro no que significa o polinómio ter um raíz inteira:
\(-12r^4+32r^3−15r^2−3r+2=0 \Leftrightarrow r(-12r^3+32r^2−15r−3)=-2\)
Ou seja \(r\) divide -2 logo só há quatro valores possíveis para \(r\): -2,-1,1 ou 2 (exercício: encontre qual deles é).
(b) Encontrada a raíz inteira \(r\) podemos dividir o polinómio pelo fator \(x-r\) (pode ser feito pelo método de Rufini ou divisão de polinómios) e ficamos com o polinómio \(-12x^3+8x^2+x-1\) (estou a dar o quociente de graça). Podemos seguir o mesmo procedimento que fizemos anteriormente mas mais rebuscado.
Suponhamos que temos uma raíz racional \(a/b\) (com \(a\) e \(b\) primos entre si) então temos:
\(-12\left(\frac{a}{b}\right)^3+8\left(\frac{a}{b}\right)^2+\frac{a}{b}-1=0 \Leftrightarrow -12a^3+8a^2b+ab^2-b^3=0
\Leftrightarrow a(-12a^2+8ab+b^2)=b^3\)
Como \(a\) e \(b\) são primos entre si, a única possibilidade para a é ser 1 ou -1 (mudando o sinal em \(b\) se necessário podemos assumir que \(a=1\)).
Por outro lado, \(12a^3+8a^2b+ab^2-b^3=0 \Leftrightarrow 8ab+b^2-b^3 = 12a^3 \Leftrightarrow (8a+b-b^2)b = 12a^3 \Rightarrow^{a=1} (8+b-b^2)b = 12\)
Logo b divide 12.
Temos portanto mais uma vez um número pequeno de candidatos: \(b= \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 3, \pm 2\) ou \(\pm 1\). (exercício: ver qual)
(c) Exercício. Depois de encontradas duas raízes resta um polinómio de 2ºgrau e basta aplicar a fórmula resolvente para determinar as restantes raízes.
Nota 1: No enunciado que escreveu está \(p(x)=-12x^4+32x^3−15x^2−3+2\) mas creio que a sua intensão era escrever \(p(x)=-12x^4+32x^3−15x^2−3x+2\).
Nota 2: O método seguido em (a) e (b) nada é mais que a aplicação do
teorema das raízes racionais