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| |ax^2+bx+1| <= 1, x in [0,1] https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=185 |
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| Autor: | kinu [ 06 fev 2012, 17:49 ] |
| Título da Pergunta: | |ax^2+bx+1| <= 1, x in [0,1] |
If \(\mid ax^2+bx+1\mid\leq 1\forall x\in [0,1]\), Then which one is Right options (i) \(\mid a\mid\leq 8\) (ii) \(\mid b\mid>8\) (iii) \(b>0\) (iv) \(\mid a\mid +\mid b\mid\leq 16\) |
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| Autor: | Fraol [ 04 jul 2013, 00:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: |ax^2+bx+1| <= 1, x in [0,1] |
Boa noite, Esta é mais uma daquelas questões antigas no fórum e dessa vez vou discuti-la em português mesmo. Se \(|ax^2+bx+1| \leq 1, x \in [0,1]\) então: \(\left| - \frac{b^2-4ac}{4a} \right| \leq 1\). Desenvolvendo o módulo temos: \(b^2 -4ac = 4a \Leftrightarrow b^2 = 8a\) ou \(b^2 -4ac = -4a \Leftrightarrow b = 0\) Quanto \(x=1, x \in [0,1]\) então \(\left| a +b + 1 \right| \leq 1\) e disso segue que \(a+b \leq -2\) ou no extremo, \(a = -b\) Juntando \(a = -b\) com \(b = 0\) temos que \(a=0\) e daí não é uma quadrática. Juntando \(a = -b\) com \(b^2 = 8a\) temos \(b = -8\) e \(a = 8\). Então os coeficientes da quadrática são \(a=8, b=-8, c=1\). Com isso é possível analisar as alternativas e finalizar o problema. |
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