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| provar que a função f é injetiva https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=1980 |
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| Autor: | Walter R [ 10 mar 2013, 01:30 ] |
| Título da Pergunta: | provar que a função f é injetiva [resolvida] |
Devo mostrar que se f(A-X) = f(A) - f(X), para todo \(X\subset A\), então f é injetiva. |
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| Autor: | Fraol [ 11 mar 2013, 02:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que a função f é injetiva |
Olá, Boa noite, Vendo esse caso agora e, se não me confundi com essa história de \(f(A), f(X)\), ... creio que pode-se tentar, novamente, por contradição. Nesse caso suporia que \(f\) não é injetiva, escolheria elementos \(x, y \in A\) com \(x \neq y, f(x) = f(y)\). Por fim definiria um conjunto unitário \(X \subset A, X = \left{x \right}\). Acho que por aí sai, quer tentar um pouco? |
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| Autor: | Walter R [ 11 mar 2013, 03:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que a função f é injetiva |
Boa noite! Obrigado pela dica. Já tentei assim, mas a dificuldade é a seguinte: suponha um \(z\in f(X-Y)\). Então existe um \(x\in (X-Y)\), tal que \(z=f(x)\). Mas então \(x\in X\) e \(x\notin Y\). Da mesma forma, \(y\in X\) e \(y\notin Y.\) Em outras palavras, os elementos que você chamou x e y devem pertencer ao conjunto X, então não pode haver um conjunto X unitário. |
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| Autor: | Fraol [ 11 mar 2013, 10:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que a função f é injetiva |
Bom dia, No conjunto \(X = \left{x \right}\) que propus, só há o elemento \(x\) pois propus \(x \neq y\) (pensando melhor, eu devia ter chamado o \(y\) de \(a\), mas vamos em frente com \(y\) mesmo). A argumentação que usaria é a seguinte: Sejam \(A, X\) conjuntos tais que \(X \subset A\), \(x,y \in A\), \(x \neq y\), \(X = \left{ x \right}\), \(f(A-X) = f(A) - f(X)\), \(f\) não injetiva, \(f(x) = f(y)\) . (1) Pela suposição de não injetividade de \(f\), \(f(y) = f(x)\) então \(f(y) \in f(X)\). (2) Por outro lado, como \(y \neq x\), \(y \in A-X\) então \(f(y) \in f(A-X)\). (3) Em (1) e (2) temos uma contradição, pois afirmamos que um elemento, \(f(y)\), pertence a um conjunto e ao seu complementar. (4) Então concluímos que \(f\) é injetiva. . |
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| Autor: | Walter R [ 11 mar 2013, 13:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que a função f é injetiva |
Obrigado mais uma vez! Um abraço. |
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| Autor: | Fraol [ 11 mar 2013, 14:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: provar que a função f é injetiva |
Ok! |
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