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| ínfimo e supremo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=2170 |
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| Autor: | Walter R [ 03 abr 2013, 14:19 ] |
| Título da Pergunta: | ínfimo e supremo [resolvida] |
Preciso de ajuda para resolver o seguinte problema: Sejam X e Y conjuntos não vazios e \(f:XxY \mapsto \mathbb{R}\) uma função limitada. Para cada \(x_{0} \in X\) e \(y_{0} \in Y\), temos \(I(x_{0})= inf[f(x_{0},y)/y\in Y]\) e \(S(y_{0})= sup[f(x,y_{0})/x\in X]\). Isto define funções \(I:X\rightarrow \mathbb{R}\) e \(S:Y\rightarrow \mathbb{R}\). Prove que \(Sup_{y\in Y}I(x)\leq Inf_{x\in X}S(y)\) |
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| Autor: | Sobolev [ 03 abr 2013, 17:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ínfimo e supremo |
No fundo quer provar que \(\sup_x \quad \inf_y f(x,y) \leq \inf_y \quad \sup_x f(x,y)\) Pode proceder do seguinte modo \(f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow \inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow \sup_x \quad \inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall y \Rightarrow \sup_x \quad \inf_y \quad f(x,y) \leq \inf_y \quad \sup_x \quad f(x,y)\) |
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| Autor: | Walter R [ 03 abr 2013, 19:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ínfimo e supremo |
dedução muito elucidativa. Obrigado! |
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| Autor: | paulovieira [ 04 abr 2013, 00:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ínfimo e supremo |
Já agora, quando temos de resolver problemas deste género, as coisas ficam mais claras quando se distingue bem as variáveis "mudas" das variáveis "fixas" (salvo seja). Por exemplo, no início da demonstração do sobolev, temos: Sobolev Escreveu: \(f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y \Rightarrow \inf_y \quad f(x,y) \leq \sup_x \quad f(x,y), \qquad \forall x,y\) Logo na primeira linha, no lado esquerdo a variável \(x\) é fixa, mas no lado direito esta variável é muda. Uma maneira mais clara (a meu ver) de escrever isto seria primeiro fixar \(x \in X, \,\,\,\, y \in Y\), e usar outras variáveis para os ínfimos e supremos. Por exemplo: Fixado \(x \in X, y \in Y\), temos: \(f(x,y) \leq \sup_{a \in X} f(a, y)\). (Aqui a variável muda é \(a\), enquanto \(x, \,\, y\) estão fixas). Mas esta desigualdade é válida \(\forall y \in Y\), logo vendo as expressões como funções de \(y\), temos \(\inf_{b \in Y} f(x,b) \leq \inf_{b \in Y} \,\, \sup_{a \in X} f(a, b)\) (A variável fixa \(y\) desapareceu, foi substituida pela variável muda \(b\)). E depois é só continuar... |
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