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f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=2248	Página 1 de 1

Autor:	Prevaricador [ 12 abr 2013, 16:55 ]
Título da Pergunta:	f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
Podem verificar a minha resolução? Dadas duas funcões f e g tais que a funcão composta g o f é injectiva, relativamente à funcão f podemos afirmar: a) A funcão f é injectiva b) A funcão f so é injectiva se g tambem for injectiva c) A funcão f nunca pode ser injectiva d) O problema, como colocado, não é conclusivo Na minha opinião a resposta a) é a correta mas gostaria de confirmar.... Cumprimentos

Autor:	João P. Ferreira [ 12 abr 2013, 18:07 ]
Título da Pergunta:	Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
Repare que pela definição de função injetiva, pode-se dizer neste caso, que para todos \(x_1 \neq x_2\Rightarrow g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\) consegue avançar???

Autor:	Prevaricador [ 12 abr 2013, 19:39 ]
Título da Pergunta:	Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
Obrigado pela ajuda, mas não sei se percebi o que pretende dizer... Segundo a definição de função injetiva: Uma função diz-se injectiva se e somente se quaisquer que sejam x₁ e x₂ ( pertencentes ao domínio da função ), x₁ é diferente de x₂ implica que f(x₁) é diferente de f(x₂). logo para g o f ser injetiva, se x₁ é diferente de x₂ então as imagens de g(f(x₁) e g(f(x₂) também têm de ser diferentes. Na minha opinião a resposta c) está errada porque se f é injetiva não altera o facto de g o f ser injetiva. Relativamente à opção b) a minha dúvida é porque é que o facto de g ser injetiva implica que f teria de ser sempre injetiva? Além disso, neste caso, g também tem que ser necessáriamente injetiva ou g poderia ser sobrejetiva?

Autor:	Prevaricador [ 13 abr 2013, 18:17 ]
Título da Pergunta:	Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
João P. Ferreira: Continuo a achar que a resposta correta é a a). Na tua opinião qual é a resposta correta? Sei que me apontaste para o caminho certo, mas não percebi o que pretendias explicar... Cumprimentos

Autor:	João P. Ferreira [ 13 abr 2013, 20:35 ]
Título da Pergunta:	Re: f e g tais que a fun
Caro Perdão, estive a pensar no assunto Repare que se se sabe que \(g \circ f\) é injetiva então \(g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\) para \(x_1 \neq x_2\) ora como g é uma função, ou seja tem apenas uma imagem para cada objeto, \(f(x)\) tem de ser injetiva, logo a resposta a) está certa repare que se \(f(x)\) não fosse injetiva poderia \(f(x_1)=f(x_2)\) para \(x_1 \neq x_2\) e nesse caso (como \(g\) é uma função) \(g(f(x_1))=g(f(x_2)\) fazendo com que \(g \circ f\) também não fosse injetiva logo (parece-me) que a resposta a) é a correta

Autor:	Prevaricador [ 13 abr 2013, 21:31 ]
Título da Pergunta:	Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva [resolvida]
Tinha quase a certeza que a resposta a) seria a correta mas não sabia justificar porque é que a b) não estaria correta... Agora já percebi este exercício! Obrigado pelo esclarecimento!

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