Fórum de Matemática
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Boa Questão, mas não consegui resolver.
Admita a validade do Teorema Fundamental da álgebra (dado um polinômio com coeficientes em C, ele se fatora em polinômios do primeiro ou segundo gau) para mostrar que, se f e g são polinômios com coeficientes complexos, então mdc(f,g) =1 se e somente se f e g não tem raiz em comum.

Boa tarde,

Essa equivalência vale para quaisquer polinômios.

Vamos lá então ( talvez falte uma palavrinha (formalidade matemática) ou outra mas creio que em linhas gerais é isso):

A gente quer provar:



Então devemos provar: \(mdc(f,g) = 1 \Rightarrow f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\)

\(mdc(f,g) = 1\) então \(f\) e \(g\) são primos entre si, então existem polinômios \(p\) e \(q\) tais que \(fp + gq = 1\).

Vamos supor que \(x_f\) seja raiz de \(f\) então \(f(x_f) = 0\).

Assim temos que \(f(x_f)p(x_f) + g(x_f)q(x_f) = 1\),

logo \(g(x_f)q(x_f) = 1\), portanto \(g(x_f) \neq 0\).

Ou seja \(x_f\) não é raiz de \(g\) e concluímos que \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\).

e provar: \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum} \Rightarrow mdc(f,g) = 1\)

Partindo da hipótese que \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\),

vamos supor que \(mdc(f,g) = d \neq 1\), sendo \(d\) um polinômio.

Assim \(f\) e \(g\) não são primos entre si.

Então \(d\) deve ter uma raiz, todo polinômio tem ao menos uma raiz (TFA).

Seja \(x_d\) essa raiz. Então \(x_d\) é raiz de \(f\) e \(g\) pois \(d\) divide ambos.

Só que isso contraria nossa hipótese e portanto concluímos que \(mdc(f,g) = 1\).

É isso.

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Fraol
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