Fórum de Matemática
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If \(\mid ax^2+bx+1\mid\leq 1\forall x\in [0,1]\), Then which one is Right

options

(i) \(\mid a\mid\leq 8\)

(ii) \(\mid b\mid>8\)

(iii) \(b>0\)

(iv) \(\mid a\mid +\mid b\mid\leq 16\)

Boa noite,

Esta é mais uma daquelas questões antigas no fórum e dessa vez vou discuti-la em português mesmo.

Se \(|ax^2+bx+1| \leq 1, x \in [0,1]\) então:

\(\left| - \frac{b^2-4ac}{4a} \right| \leq 1\). Desenvolvendo o módulo temos:

\(b^2 -4ac = 4a \Leftrightarrow b^2 = 8a\) ou \(b^2 -4ac = -4a \Leftrightarrow b = 0\)

Quanto \(x=1, x \in [0,1]\) então \(\left| a +b + 1 \right| \leq 1\) e disso segue que \(a+b \leq -2\) ou no extremo, \(a = -b\)

Juntando \(a = -b\) com \(b = 0\) temos que \(a=0\) e daí não é uma quadrática.

Juntando \(a = -b\) com \(b^2 = 8a\) temos \(b = -8\) e \(a = 8\).

Então os coeficientes da quadrática são \(a=8, b=-8, c=1\). Com isso é possível analisar as alternativas e finalizar o problema.

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Fraol
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