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Sejam \(f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) contínuas. Suponha que \(f(x)=g(x)\) para todo \(x \in D\), onde \(D\subseteq \mathbb{R}\) é um subconjunto denso. Mostre que \(f(x)=g(x)\), para todo \(x \in \mathbb{R}\)


Minha tentativa é esta:

Suponho que \(f(x)\neq g(x)\), para algum \(x \in \mathbb{R}\). Seja \(\varepsilon=\frac{|f(x)-g(x)|}{2}\)


Então \((f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)\cap (g(x)-\varepsilon,g(x)+\varepsilon)=[vazio]\) (1)



Como \(D\) é denso, \(\forall \varepsilon >0, (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)\cap (g(x)-\varepsilon,g(x)+\varepsilon)\cap D\neq [vazio]\).

Absurdo, tendo em vista (1).. Logo, deve ser \(f(x)=g(x), \forall x\in \mathbb{R}\).

Gostaria que alguém comentasse. Na verdade, estou em duvida se isto está correto, pois não utilizei a hipótese da continuidade de \(f\) e \(g\)

Falta de facto qualquer coisa no meio. O conjunto \((f(x)-\varepsilon ,f(x)+\varepsilon )\cap (g(x)-\varepsilon ,g(x)+\varepsilon )\) deve ser visto no contradomíno das funções. Agora como ambas as funções são contínuas existem \(\delta_1>0\) e \(\delta_2>0\) tais que \(y\in (x-\delta_1,x+\delta_1)\Rightarrow f(y)\in (f(x)-\varepsilon ,f(x)+\varepsilon )\) e \(y\in (x-\delta_2,x+\delta_2)\Rightarrow g(y)\in (g(x)-\varepsilon ,g(x)+\varepsilon )\). Ora tomando \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\) temos que \(y\in (x-\delta ,x+\delta )\Rightarrow f(y)\not= g(y)\) pois \(f((x-\delta ,x+\delta ))\cap g((x-\delta ,x+\delta ))\subseteq (f(x)-\varepsilon ,f(x)+\varepsilon )\cap (g(x)-\varepsilon ,g(x)+\varepsilon ) =\emptyset\), mas por outro lado como D é denso \((x-\delta ,x+\delta )\cap D\not=\emptyset\) logo existe \(d\in (x-\delta ,x+\delta )\) tal que \(f(d)=g(d)\).

PS- Também se pode demonstrar por outra via: Se D é denso então para todo o \(x\) existe uma sucessão \((x_n)\) de termos em D tal que \(x_n\to x\). Assim sendo, resulta da continuidade de f e g que \(f(x)=\lim f(x_n)=\lim g(x_n)=g(x)\).