Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Alguém me pode ajudar a mostrar esta igualdade.

Obrigado
Abraço.

Essa é puxada

Tente com o binómio de Newton

\(\left(x+y\right)^N=\sum_{k=0}^N{N \choose k}x^{N-k}y^k\)

Agora faça:

\(x=n+1\)

\(y=-1\)

\(x+y=n\)

Faça ainda

\(N=n-2\)

Fica então com:

\(n^{n-2}=\sum_{k=0}^{n-2}{{n-2} \choose k}(n+1)^{n-2-k}(-1)^k\)

faça a substituição

\(i=k+1\)

\(k=0 \Rightarrow i=1\)

\(k=n-2 \Rightarrow i=n-1\)

Então:

\(n^{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1}{{n-2} \choose {i-1}}(n+1)^{n-i-1}(-1)^{i-1}\)

Não sei se é este o caminho, mas parece ser...

Continue...

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João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Tente fazer por indução. Parece-me ser o caminho.

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Sim caro José Sousa,
tem razão!!!

Por indução

Ora então
base:

é válido para n=3

\(\sum_{i=1}^{3-1}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)^{3-2}=3^{3-2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{2}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{1-1}\binom{3}{1}.(3-1)+(-1)^{2-1}\binom{3}{2}.(3-2)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{0}\binom{3}{1}.2+(-1)^{1}\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2.\binom{3}{1}-\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {6-3}={3} \Leftrightarrow \\ \\ {3}={3}\)

base confirmada

Agora é só verificar que se é válido para n, também é válido para n+1

vamos substituir \(n\) por \(n+1\) e tentar chegar à expressão inicial

\(\sum_{i=1}^{n+1-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n+1-2}=(n+1)^{n+1-2} \\ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}\binom{n+1}{n}(n+1-n)^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac{n+1}{n+1-i}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}(n+1)\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2}=(n+1)^{n-1}\\ \\ pondo \ (n+1)\ em \ evidencia \\ \\ (n+1)\left((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} \right )=(n+1)(n+1)^{n-2} \\ \\ corta \ (n+1) \ dos \ dois \ lados \\ \\ (-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\)

Epah, isto agora são contas siga para bingo...

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João Pimentel Ferreira
 
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Meu caro, continuando a saga...

\((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\\ \\ fazendo \ N=n+1 \ \\ \\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N-1}{i}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\ lembre-se \ que\\ \\ \binom{N-1}{i}=\frac{N-1}{i!(N-1-i)!}=\frac{\frac{N!}{N}}{i!\frac{(N-i)!}{N-i}}=\binom{N}{i}=\frac{N-i}{N}\\ \\\\ continuando... \\\\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\frac{N-i}{N}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\\\ multiplicando \ por \ N \ dos \ dois \ lados \\ \\ N(-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\\\)

Considerando agora a série na fórmula \(\sum a_i\)

Repare que a soma vai até \(N-2\), vamos ver qual o valor de \(a_i\) para \(i=N-1\)

\(a_i=(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2}\)

para \(i=N-1\) temos

\(a_{N-1}=(-1)^{N-2}\binom{N}{N-1}(N-N+1)^{N-2}=(-1)^N.N\)

que dá o primeiro termo da parcela na soma acima

Assim podemos dizer que

\(\sum_{i=1}^{N-1}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\)

fazendo \(N=n\)

\(\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n-i)^{n-2} =n^{n-2}\)

c.q.d.

Esta foi bem puxada

Volte sempre

E lembre-se: sem esforço não há ganho!!!

Bons estudos!!!

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João Pimentel Ferreira
 
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