Bom dia,
Alguém me pode ajudar a mostrar esta igualdade.
Obrigado
Abraço.
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| Igualdade https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=392 |
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| Autor: | cardosor23 [ 22 mai 2012, 12:06 ] | ||
| Título da Pergunta: | Igualdade | ||
Bom dia, Alguém me pode ajudar a mostrar esta igualdade. Obrigado Abraço.
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| Autor: | João P. Ferreira [ 22 mai 2012, 14:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Igualdade |
Essa é puxada  Tente com o binómio de Newton \(\left(x+y\right)^N=\sum_{k=0}^N{N \choose k}x^{N-k}y^k\) Agora faça: \(x=n+1\) \(y=-1\) \(x+y=n\) Faça ainda \(N=n-2\) Fica então com: \(n^{n-2}=\sum_{k=0}^{n-2}{{n-2} \choose k}(n+1)^{n-2-k}(-1)^k\) faça a substituição \(i=k+1\) \(k=0 \Rightarrow i=1\) \(k=n-2 \Rightarrow i=n-1\) Então: \(n^{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1}{{n-2} \choose {i-1}}(n+1)^{n-i-1}(-1)^{i-1}\) Não sei se é este o caminho, mas parece ser... Continue... |
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| Autor: | josesousa [ 25 mai 2012, 10:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Igualdade |
Tente fazer por indução. Parece-me ser o caminho. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 mai 2012, 12:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Igualdade |
Sim caro José Sousa, tem razão!!! Por indução Ora então base: é válido para n=3 \(\sum_{i=1}^{3-1}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)^{3-2}=3^{3-2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{2}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{1-1}\binom{3}{1}.(3-1)+(-1)^{2-1}\binom{3}{2}.(3-2)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{0}\binom{3}{1}.2+(-1)^{1}\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2.\binom{3}{1}-\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {6-3}={3} \Leftrightarrow \\ \\ {3}={3}\) base confirmada Agora é só verificar que se é válido para n, também é válido para n+1 vamos substituir \(n\) por \(n+1\) e tentar chegar à expressão inicial \(\sum_{i=1}^{n+1-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n+1-2}=(n+1)^{n+1-2} \\ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}\binom{n+1}{n}(n+1-n)^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac{n+1}{n+1-i}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}(n+1)\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2}=(n+1)^{n-1}\\ \\ pondo \ (n+1)\ em \ evidencia \\ \\ (n+1)\left((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} \right )=(n+1)(n+1)^{n-2} \\ \\ corta \ (n+1) \ dos \ dois \ lados \\ \\ (-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\) Epah, isto agora são contas siga para bingo... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 mai 2012, 16:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Igualdade |
Meu caro, continuando a saga... \((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\\ \\ fazendo \ N=n+1 \ \\ \\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N-1}{i}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\ lembre-se \ que\\ \\ \binom{N-1}{i}=\frac{N-1}{i!(N-1-i)!}=\frac{\frac{N!}{N}}{i!\frac{(N-i)!}{N-i}}=\binom{N}{i}=\frac{N-i}{N}\\ \\\\ continuando... \\\\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\frac{N-i}{N}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\\\ multiplicando \ por \ N \ dos \ dois \ lados \\ \\ N(-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\\\) Considerando agora a série na fórmula \(\sum a_i\) Repare que a soma vai até \(N-2\), vamos ver qual o valor de \(a_i\) para \(i=N-1\) \(a_i=(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2}\) para \(i=N-1\) temos \(a_{N-1}=(-1)^{N-2}\binom{N}{N-1}(N-N+1)^{N-2}=(-1)^N.N\) que dá o primeiro termo da parcela na soma acima Assim podemos dizer que \(\sum_{i=1}^{N-1}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\) fazendo \(N=n\) \(\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n-i)^{n-2} =n^{n-2}\) c.q.d. Esta foi bem puxada Volte sempre E lembre-se: sem esforço não há ganho!!! Bons estudos!!! |
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