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Seja f(x)=ax³+bx²+cx+d, onde a>0, b, c, d são reais dados. Prove que existem números reais x₁ e x₂ tais que f(x₁)<0 e f(x₂)>0.

Como a>0 terá certamente

\(\lim_{x\to +\infty} (ax^3+bx^2+cx+d) = +\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty} (ax^3+bx^2+cx+d) = -\infty,\)

Ora, dado que a função é contínua e toma valores arbitrariamente grandes (positivos e negativos), em particular existem pontos onde a função é negativa e pontos onde é positiva.